Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29890 / 15185
↖ ↑ ↗
← N 69.003707°
W 15.809326°		 ← 218.85 m → N 69.003707°
W 15.803833°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
N 69.001739°
W 15.809326°		 ← 218.87 m →
47 896 m²		 N 69.001739°
W 15.803833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456092834472656 y=0.231712341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456092834472656 × 216)
    floor (0.456092834472656 × 65536)
    floor (29890.5)     		tx = 29890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231712341308594 × 216)
    floor (0.231712341308594 × 65536)
    floor (15185.5)     		ty = 15185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29890 / 15185 ti = "16/29890/15185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29890/15185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29890 ÷ 216
    29890 ÷ 65536     		x = 0.456085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15185 ÷ 216
    15185 ÷ 65536     		y = 0.231704711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.08782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27592479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231704711914062 × 2 - 1) × π
    0.536590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68574901203889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27592479} λ = -0.27592479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68574901203889))-π/2
    2×atan(5.39649145602853)-π/2
    2×1.38756910537576-π/2
    2.77513821075151-1.57079632675     		φ = 1.20434188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27592479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20434188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.003707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29890 KachelY 15185 -0.27592479 1.20434188 -15.809326 69.003707
    Oben rechts KachelX + 1 29891 KachelY 15185 -0.27582892 1.20434188 -15.803833 69.003707
    Unten links KachelX 29890 KachelY + 1 15186 -0.27592479 1.20430753 -15.809326 69.001739
    Unten rechts KachelX + 1 29891 KachelY + 1 15186 -0.27582892 1.20430753 -15.803833 69.001739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20434188-1.20430753) × R
    3.43500000001828e-05 × 6371000     		dl = 218.843850001165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20434188-1.20430753) × R
    3.43500000001828e-05 × 6371000     		dr = 218.843850001165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27592479--0.27582892) × cos(1.20434188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358307549760397 × 6371000     		do = 218.849869292312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27592479--0.27582892) × cos(1.20430753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358339618832992 × 6371000     		du = 218.869456689648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20434188)-sin(1.20430753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358307549760397-0.358339618832992)×R²
    abs(-0.27582892--0.27592479)×3.20690725947315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20690725947315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20690725947315e-05×40589641000000     		ar = 47896.0912637318m²