Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2989 / 3441
↖ ↑ ↗
← N 27.644606°
W 48.647461°		 ← 4 328.66 m → N 27.644606°
W 48.603516°		 →
↑
4 329.41 m
↓
↑
4 329.41 m
↓
N 27.605671°
W 48.647461°		 ← 4 330.20 m →
18 743 908 m²		 N 27.605671°
W 48.603516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36492919921875 y=0.42010498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36492919921875 × 213)
    floor (0.36492919921875 × 8192)
    floor (2989.5)     		tx = 2989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42010498046875 × 213)
    floor (0.42010498046875 × 8192)
    floor (3441.5)     		ty = 3441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2989 / 3441 ti = "13/2989/3441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2989/3441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2989 ÷ 213
    2989 ÷ 8192     		x = 0.3648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3441 ÷ 213
    3441 ÷ 8192     		y = 0.4200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84905837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4200439453125 × 2 - 1) × π
    0.159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84905837} λ = -0.84905837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502378708018189))-π/2
    2×atan(1.65264776534723)-π/2
    2×1.02664286428246-π/2
    2.05328572856492-1.57079632675     		φ = 0.48248940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84905837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48248940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.644606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2989 KachelY 3441 -0.84905837 0.48248940 -48.647461 27.644606
    Oben rechts KachelX + 1 2990 KachelY 3441 -0.84829138 0.48248940 -48.603516 27.644606
    Unten links KachelX 2989 KachelY + 1 3442 -0.84905837 0.48180985 -48.647461 27.605671
    Unten rechts KachelX + 1 2990 KachelY + 1 3442 -0.84829138 0.48180985 -48.603516 27.605671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48248940-0.48180985) × R
    0.000679550000000029 × 6371000     		dl = 4329.41305000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48248940-0.48180985) × R
    0.000679550000000029 × 6371000     		dr = 4329.41305000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84905837--0.84829138) × cos(0.48248940) × R
    0.000766989999999912 × 0.885842622484829 × 6371000     		do = 4328.66403076762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84905837--0.84829138) × cos(0.48180985) × R
    0.000766989999999912 × 0.886157719493861 × 6371000     		du = 4330.20375018796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48248940)-sin(0.48180985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885842622484829-0.886157719493861)×R²
    abs(-0.84829138--0.84905837)×0.000315097009032317×R²
    0.000766989999999912×0.000315097009032317×6371000²
    0.000766989999999912×0.000315097009032317×40589641000000     		ar = 18743908.3058576m²