Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29889 / 29503
↖ ↑ ↗
← S 80.758850°
E148.370361°		 ← 196.18 m → S 80.758850°
E148.381348°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
S 80.760615°
E148.370361°		 ← 196.15 m →
38 480 m²		 S 80.760615°
E148.381348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912155151367188 y=0.900375366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912155151367188 × 215)
    floor (0.912155151367188 × 32768)
    floor (29889.5)     		tx = 29889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900375366210938 × 215)
    floor (0.900375366210938 × 32768)
    floor (29503.5)     		ty = 29503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29889 / 29503 ti = "15/29889/29503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29889/29503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29889 ÷ 215
    29889 ÷ 32768     		x = 0.912139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29503 ÷ 215
    29503 ÷ 32768     		y = 0.900360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912139892578125 × 2 - 1) × π
    0.82427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58955132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.80072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51553674446207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58955132} λ = 2.58955132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51553674446207))-π/2
    2×atan(0.0808195211323913)-π/2
    2×0.0806442420389981-π/2
    0.161288484077996-1.57079632675     		φ = -1.40950784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58955132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40950784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.758850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29889 KachelY 29503 2.58955132 -1.40950784 148.370361 -80.758850
    Oben rechts KachelX + 1 29890 KachelY 29503 2.58974307 -1.40950784 148.381348 -80.758850
    Unten links KachelX 29889 KachelY + 1 29504 2.58955132 -1.40953863 148.370361 -80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 29890 KachelY + 1 29504 2.58974307 -1.40953863 148.381348 -80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40950784--1.40953863) × R
    3.07899999998362e-05 × 6371000     		dl = 196.163089998957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40950784--1.40953863) × R
    3.07899999998362e-05 × 6371000     		dr = 196.163089998957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58955132-2.58974307) × cos(-1.40950784) × R
    0.000191749999999935 × 0.160590103330584 × 6371000     		do = 196.18317339013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58955132-2.58974307) × cos(-1.40953863) × R
    0.000191749999999935 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 196.146047213338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40950784)-sin(-1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160590103330584-0.160559712872195)×R²
    abs(2.58974307-2.58955132)×3.03904583883741e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03904583883741e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03904583883741e-05×40589641000000     		ar = 38480.2561084003m²