Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29889 / 17726
↖ ↑ ↗
← N 63.396442°
W 15.814819°		 ← 273.55 m → N 63.396442°
W 15.809326°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 63.393982°
W 15.814819°		 ← 273.57 m →
74 838 m²		 N 63.393982°
W 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456077575683594 y=0.270484924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456077575683594 × 216)
    floor (0.456077575683594 × 65536)
    floor (29889.5)     		tx = 29889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270484924316406 × 216)
    floor (0.270484924316406 × 65536)
    floor (17726.5)     		ty = 17726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29889 / 17726 ti = "16/29889/17726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29889/17726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29889 ÷ 216
    29889 ÷ 65536     		x = 0.456069946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17726 ÷ 216
    17726 ÷ 65536     		y = 0.270477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456069946289062 × 2 - 1) × π
    -0.087860107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27602067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270477294921875 × 2 - 1) × π
    0.45904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44213368816977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27602067} λ = -0.27602067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44213368816977))-π/2
    2×atan(4.22971108018942)-π/2
    2×1.33863648689835-π/2
    2.6772729737967-1.57079632675     		φ = 1.10647665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27602067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.814819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10647665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.396442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29889 KachelY 17726 -0.27602067 1.10647665 -15.814819 63.396442
    Oben rechts KachelX + 1 29890 KachelY 17726 -0.27592479 1.10647665 -15.809326 63.396442
    Unten links KachelX 29889 KachelY + 1 17727 -0.27602067 1.10643371 -15.814819 63.393982
    Unten rechts KachelX + 1 29890 KachelY + 1 17727 -0.27592479 1.10643371 -15.809326 63.393982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10647665-1.10643371) × R
    4.29400000001579e-05 × 6371000     		dl = 273.570740001006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10647665-1.10643371) × R
    4.29400000001579e-05 × 6371000     		dr = 273.570740001006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27602067--0.27592479) × cos(1.10647665) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.447814610166313 × 6371000     		do = 273.548217385853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27602067--0.27592479) × cos(1.10643371) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.447853003542406 × 6371000     		du = 273.571670036461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10647665)-sin(1.10643371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447814610166313-0.447853003542406)×R²
    abs(-0.27592479--0.27602067)×3.8393376092849e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.8393376092849e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.8393376092849e-05×40589641000000     		ar = 74837.9962470791m²