Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29889 / 15182
↖ ↑ ↗
← N 69.009611°
W 15.814819°		 ← 218.81 m → N 69.009611°
W 15.809326°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
N 69.007643°
W 15.814819°		 ← 218.83 m →
47 888 m²		 N 69.007643°
W 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456077575683594 y=0.231666564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456077575683594 × 216)
    floor (0.456077575683594 × 65536)
    floor (29889.5)     		tx = 29889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231666564941406 × 216)
    floor (0.231666564941406 × 65536)
    floor (15182.5)     		ty = 15182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29889 / 15182 ti = "16/29889/15182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29889/15182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29889 ÷ 216
    29889 ÷ 65536     		x = 0.456069946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15182 ÷ 216
    15182 ÷ 65536     		y = 0.231658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456069946289062 × 2 - 1) × π
    -0.087860107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27602067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231658935546875 × 2 - 1) × π
    0.53668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68603663343662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27602067} λ = -0.27602067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68603663343662))-π/2
    2×atan(5.39804382568056)-π/2
    2×1.38762062691657-π/2
    2.77524125383313-1.57079632675     		φ = 1.20444493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27602067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.814819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20444493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.009611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29889 KachelY 15182 -0.27602067 1.20444493 -15.814819 69.009611
    Oben rechts KachelX + 1 29890 KachelY 15182 -0.27592479 1.20444493 -15.809326 69.009611
    Unten links KachelX 29889 KachelY + 1 15183 -0.27602067 1.20441058 -15.814819 69.007643
    Unten rechts KachelX + 1 29890 KachelY + 1 15183 -0.27592479 1.20441058 -15.809326 69.007643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20444493-1.20441058) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dl = 218.84384999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20444493-1.20441058) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dr = 218.84384999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27602067--0.27592479) × cos(1.20444493) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.358211340006114 × 6371000     		do = 218.813927195628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27602067--0.27592479) × cos(1.20441058) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.35824341034692 × 6371000     		du = 218.833517410774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20444493)-sin(1.20441058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358211340006114-0.35824341034692)×R²
    abs(-0.27592479--0.27602067)×3.20703408064338e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.20703408064338e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.20703408064338e-05×40589641000000     		ar = 47888.22586459m²