Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29887 / 42555
↖ ↑ ↗
← S 47.260592°
W 15.825806°		 ← 414.56 m → S 47.260592°
W 15.820312°		 →
↑
414.50 m
↓
↑
414.50 m
↓
S 47.264320°
W 15.825806°		 ← 414.53 m →
171 829 m²		 S 47.264320°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456047058105469 y=0.649345397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456047058105469 × 216)
    floor (0.456047058105469 × 65536)
    floor (29887.5)     		tx = 29887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649345397949219 × 216)
    floor (0.649345397949219 × 65536)
    floor (42555.5)     		ty = 42555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29887 / 42555 ti = "16/29887/42555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29887/42555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29887 ÷ 216
    29887 ÷ 65536     		x = 0.456039428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42555 ÷ 216
    42555 ÷ 65536     		y = 0.649337768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456039428710938 × 2 - 1) × π
    -0.087921142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27621242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649337768554688 × 2 - 1) × π
    -0.298675537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.938316873162979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27621242} λ = -0.27621242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938316873162979))-π/2
    2×atan(0.391285865169973)-π/2
    2×0.372971693297754-π/2
    0.745943386595508-1.57079632675     		φ = -0.82485294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27621242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.825806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82485294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.260592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29887 KachelY 42555 -0.27621242 -0.82485294 -15.825806 -47.260592
    Oben rechts KachelX + 1 29888 KachelY 42555 -0.27611654 -0.82485294 -15.820312 -47.260592
    Unten links KachelX 29887 KachelY + 1 42556 -0.27621242 -0.82491800 -15.825806 -47.264320
    Unten rechts KachelX + 1 29888 KachelY + 1 42556 -0.27611654 -0.82491800 -15.820312 -47.264320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82485294--0.82491800) × R
    6.50600000000612e-05 × 6371000     		dl = 414.49726000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82485294--0.82491800) × R
    6.50600000000612e-05 × 6371000     		dr = 414.49726000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27621242--0.27611654) × cos(-0.82485294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678664980882853 × 6371000     		do = 414.563507996431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27621242--0.27611654) × cos(-0.82491800) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678617196260608 × 6371000     		du = 414.534318689211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82485294)-sin(-0.82491800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678664980882853-0.678617196260608)×R²
    abs(-0.27611654--0.27621242)×4.77846222448619e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77846222448619e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77846222448619e-05×40589641000000     		ar = 171829.388777616m²