Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29887 / 29501
↖ ↑ ↗
← S 80.755322°
E148.348389°		 ← 196.26 m → S 80.755322°
E148.359375°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
S 80.757086°
E148.348389°		 ← 196.22 m →
38 507 m²		 S 80.757086°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912094116210938 y=0.900314331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912094116210938 × 215)
    floor (0.912094116210938 × 32768)
    floor (29887.5)     		tx = 29887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900314331054688 × 215)
    floor (0.900314331054688 × 32768)
    floor (29501.5)     		ty = 29501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29887 / 29501 ti = "15/29887/29501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29887/29501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29887 ÷ 215
    29887 ÷ 32768     		x = 0.912078857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29501 ÷ 215
    29501 ÷ 32768     		y = 0.900299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912078857421875 × 2 - 1) × π
    0.82415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58916782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.80059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51515324926511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58916782} λ = 2.58916782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51515324926511))-π/2
    2×atan(0.0808505209743315)-π/2
    2×0.0806750406336595-π/2
    0.161350081267319-1.57079632675     		φ = -1.40944625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58916782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40944625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.755322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29887 KachelY 29501 2.58916782 -1.40944625 148.348389 -80.755322
    Oben rechts KachelX + 1 29888 KachelY 29501 2.58935957 -1.40944625 148.359375 -80.755322
    Unten links KachelX 29887 KachelY + 1 29502 2.58916782 -1.40947705 148.348389 -80.757086
    Unten rechts KachelX + 1 29888 KachelY + 1 29502 2.58935957 -1.40947705 148.359375 -80.757086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40944625--1.40947705) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40944625--1.40947705) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58916782-2.58935957) × cos(-1.40944625) × R
    0.000191749999999935 × 0.160650893660715 × 6371000     		do = 196.257437243439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58916782-2.58935957) × cos(-1.40947705) × R
    0.000191749999999935 × 0.160620493636729 × 6371000     		du = 196.220299380937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40944625)-sin(-1.40947705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160650893660715-0.160620493636729)×R²
    abs(2.58935957-2.58916782)×3.04000239860769e-05×R²
    0.000191749999999935×3.04000239860769e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.04000239860769e-05×40589641000000     		ar = 38507.3251674417m²