Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29887 / 29499
↖ ↑ ↗
← S 80.751790°
E148.348389°		 ← 196.33 m → S 80.751790°
E148.359375°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
S 80.753556°
E148.348389°		 ← 196.29 m →
38 547 m²		 S 80.753556°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912094116210938 y=0.900253295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912094116210938 × 215)
    floor (0.912094116210938 × 32768)
    floor (29887.5)     		tx = 29887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900253295898438 × 215)
    floor (0.900253295898438 × 32768)
    floor (29499.5)     		ty = 29499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29887 / 29499 ti = "15/29887/29499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29887/29499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29887 ÷ 215
    29887 ÷ 32768     		x = 0.912078857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29499 ÷ 215
    29499 ÷ 32768     		y = 0.900238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912078857421875 × 2 - 1) × π
    0.82415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58916782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.80047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51476975406815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58916782} λ = 2.58916782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51476975406815))-π/2
    2×atan(0.0808815327068421)-π/2
    2×0.0807058508882295-π/2
    0.161411701776459-1.57079632675     		φ = -1.40938462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58916782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40938462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.751790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29887 KachelY 29499 2.58916782 -1.40938462 148.348389 -80.751790
    Oben rechts KachelX + 1 29888 KachelY 29499 2.58935957 -1.40938462 148.359375 -80.751790
    Unten links KachelX 29887 KachelY + 1 29500 2.58916782 -1.40941544 148.348389 -80.753556
    Unten rechts KachelX + 1 29888 KachelY + 1 29500 2.58935957 -1.40941544 148.359375 -80.753556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40938462--1.40941544) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dl = 196.354220000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40938462--1.40941544) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dr = 196.354220000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58916782-2.58935957) × cos(-1.40938462) × R
    0.000191749999999935 × 0.160711722861501 × 6371000     		do = 196.331748582665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58916782-2.58935957) × cos(-1.40941544) × R
    0.000191749999999935 × 0.160681303402365 × 6371000     		du = 196.294586977421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40938462)-sin(-1.40941544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160711722861501-0.160681303402365)×R²
    abs(2.58935957-2.58916782)×3.04194591359275e-05×R²
    0.000191749999999935×3.04194591359275e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.04194591359275e-05×40589641000000     		ar = 38546.9189381466m²