Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29886 / 42574
↖ ↑ ↗
← S 47.331377°
W 15.831299°		 ← 413.97 m → S 47.331377°
W 15.825806°		 →
↑
413.99 m
↓
↑
413.99 m
↓
S 47.335100°
W 15.831299°		 ← 413.94 m →
171 371 m²		 S 47.335100°
W 15.825806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456031799316406 y=0.649635314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456031799316406 × 216)
    floor (0.456031799316406 × 65536)
    floor (29886.5)     		tx = 29886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649635314941406 × 216)
    floor (0.649635314941406 × 65536)
    floor (42574.5)     		ty = 42574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29886 / 42574 ti = "16/29886/42574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29886/42574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29886 ÷ 216
    29886 ÷ 65536     		x = 0.456024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42574 ÷ 216
    42574 ÷ 65536     		y = 0.649627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.08795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27630829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.29925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.940138475348541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27630829} λ = -0.27630829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940138475348541))-π/2
    2×atan(0.390573746777924)-π/2
    2×0.372353977953147-π/2
    0.744707955906294-1.57079632675     		φ = -0.82608837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27630829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82608837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.331377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29886 KachelY 42574 -0.27630829 -0.82608837 -15.831299 -47.331377
    Oben rechts KachelX + 1 29887 KachelY 42574 -0.27621242 -0.82608837 -15.825806 -47.331377
    Unten links KachelX 29886 KachelY + 1 42575 -0.27630829 -0.82615335 -15.831299 -47.335100
    Unten rechts KachelX + 1 29887 KachelY + 1 42575 -0.27621242 -0.82615335 -15.825806 -47.335100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82608837--0.82615335) × R
    6.49799999999923e-05 × 6371000     		dl = 413.987579999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82608837--0.82615335) × R
    6.49799999999923e-05 × 6371000     		dr = 413.987579999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27630829--0.27621242) × cos(-0.82608837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677757104119874 × 6371000     		do = 413.965750227027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27630829--0.27621242) × cos(-0.82615335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677709323813318 × 6371000     		du = 413.936566600136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82608837)-sin(-0.82615335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677757104119874-0.677709323813318)×R²
    abs(-0.27621242--0.27630829)×4.77803065558335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77803065558335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77803065558335e-05×40589641000000     		ar = 171370.638369904m²