Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29886 / 29373
↖ ↑ ↗
← N 69.963263°
W 97.915649°		 ← 104.65 m → N 69.963263°
W 97.912903°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 69.962321°
W 97.915649°		 ← 104.65 m →
10 954 m²		 N 69.962321°
W 97.912903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228015899658203 y=0.224102020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228015899658203 × 217)
    floor (0.228015899658203 × 131072)
    floor (29886.5)     		tx = 29886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224102020263672 × 217)
    floor (0.224102020263672 × 131072)
    floor (29373.5)     		ty = 29373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29886 / 29373 ti = "17/29886/29373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29886/29373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29886 ÷ 217
    29886 ÷ 131072     		x = 0.228012084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29373 ÷ 217
    29373 ÷ 131072     		y = 0.224098205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228012084960938 × 2 - 1) × π
    -0.543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70895047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224098205566406 × 2 - 1) × π
    0.551803588867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73354210096009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70895047} λ = -1.70895047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73354210096009))-π/2
    2×atan(5.66066910104271)-π/2
    2×1.39594280714361-π/2
    2.79188561428721-1.57079632675     		φ = 1.22108929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70895047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22108929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.963263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29886 KachelY 29373 -1.70895047 1.22108929 -97.915649 69.963263
    Oben rechts KachelX + 1 29887 KachelY 29373 -1.70890253 1.22108929 -97.912903 69.963263
    Unten links KachelX 29886 KachelY + 1 29374 -1.70895047 1.22107286 -97.915649 69.962321
    Unten rechts KachelX + 1 29887 KachelY + 1 29374 -1.70890253 1.22107286 -97.912903 69.962321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22108929-1.22107286) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22108929-1.22107286) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70895047--1.70890253) × cos(1.22108929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342622591103625 × 6371000     		do = 104.645758428473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70895047--1.70890253) × cos(1.22107286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342638026600889 × 6371000     		du = 104.650472826648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22108929)-sin(1.22107286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342622591103625-0.342638026600889)×R²
    abs(-1.70890253--1.70895047)×1.54354972638493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54354972638493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54354972638493e-05×40589641000000     		ar = 10954.096967113m²