Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29885 / 42589
↖ ↑ ↗
← S 47.387193°
W 15.836792°		 ← 413.53 m → S 47.387193°
W 15.831299°		 →
↑
413.54 m
↓
↑
413.54 m
↓
S 47.390912°
W 15.836792°		 ← 413.50 m →
171 005 m²		 S 47.390912°
W 15.831299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456016540527344 y=0.649864196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456016540527344 × 216)
    floor (0.456016540527344 × 65536)
    floor (29885.5)     		tx = 29885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649864196777344 × 216)
    floor (0.649864196777344 × 65536)
    floor (42589.5)     		ty = 42589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29885 / 42589 ti = "16/29885/42589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29885/42589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29885 ÷ 216
    29885 ÷ 65536     		x = 0.456008911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42589 ÷ 216
    42589 ÷ 65536     		y = 0.649856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456008911132812 × 2 - 1) × π
    -0.087982177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27640416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.299713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.941576582337143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27640416} λ = -0.27640416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941576582337143))-π/2
    2×atan(0.39001246363246)-π/2
    2×0.371866891989259-π/2
    0.743733783978518-1.57079632675     		φ = -0.82706254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27640416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.836792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82706254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.387193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29885 KachelY 42589 -0.27640416 -0.82706254 -15.836792 -47.387193
    Oben rechts KachelX + 1 29886 KachelY 42589 -0.27630829 -0.82706254 -15.831299 -47.387193
    Unten links KachelX 29885 KachelY + 1 42590 -0.27640416 -0.82712745 -15.836792 -47.390912
    Unten rechts KachelX + 1 29886 KachelY + 1 42590 -0.27630829 -0.82712745 -15.831299 -47.390912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82706254--0.82712745) × R
    6.49099999999736e-05 × 6371000     		dl = 413.541609999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82706254--0.82712745) × R
    6.49099999999736e-05 × 6371000     		dr = 413.541609999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27640416--0.27630829) × cos(-0.82706254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677040489200894 × 6371000     		do = 413.528050598714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27640416--0.27630829) × cos(-0.82712745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676992717534724 × 6371000     		du = 413.498872249265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82706254)-sin(-0.82712745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677040489200894-0.676992717534724)×R²
    abs(-0.27630829--0.27640416)×4.77716661696492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77716661696492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77716661696492e-05×40589641000000     		ar = 171005.022654199m²