Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29885 / 29581
↖ ↑ ↗
← S 80.895454°
E148.326416°		 ← 193.30 m → S 80.895454°
E148.337402°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
S 80.897193°
E148.326416°		 ← 193.26 m →
37 360 m²		 S 80.897193°
E148.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912033081054688 y=0.902755737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912033081054688 × 215)
    floor (0.912033081054688 × 32768)
    floor (29885.5)     		tx = 29885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902755737304688 × 215)
    floor (0.902755737304688 × 32768)
    floor (29581.5)     		ty = 29581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29885 / 29581 ti = "15/29885/29581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29885/29581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29885 ÷ 215
    29885 ÷ 32768     		x = 0.912017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29581 ÷ 215
    29581 ÷ 32768     		y = 0.902740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912017822265625 × 2 - 1) × π
    0.82403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58878433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.80548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53049305714352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58878433} λ = 2.58878433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53049305714352))-π/2
    2×atan(0.0796197535180756)-π/2
    2×0.0794521459292393-π/2
    0.158904291858479-1.57079632675     		φ = -1.41189203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58878433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.326416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41189203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.895454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29885 KachelY 29581 2.58878433 -1.41189203 148.326416 -80.895454
    Oben rechts KachelX + 1 29886 KachelY 29581 2.58897607 -1.41189203 148.337402 -80.895454
    Unten links KachelX 29885 KachelY + 1 29582 2.58878433 -1.41192237 148.326416 -80.897193
    Unten rechts KachelX + 1 29886 KachelY + 1 29582 2.58897607 -1.41192237 148.337402 -80.897193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41189203--1.41192237) × R
    3.03400000001286e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41189203--1.41192237) × R
    3.03400000001286e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58878433-2.58897607) × cos(-1.41189203) × R
    0.000191739999999996 × 0.158236403096167 × 6371000     		do = 193.297719559853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58878433-2.58897607) × cos(-1.41192237) × R
    0.000191739999999996 × 0.158206445269229 × 6371000     		du = 193.261123811234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41189203)-sin(-1.41192237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158236403096167-0.158206445269229)×R²
    abs(2.58897607-2.58878433)×2.99578269380152e-05×R²
    0.000191739999999996×2.99578269380152e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.99578269380152e-05×40589641000000     		ar = 37360.1661563346m²