Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29885 / 21771
↖ ↑ ↗
← N 76.008791°
W 97.918396°		 ← 73.84 m → N 76.008791°
W 97.915649°		 →
↑
73.84 m
↓
↑
73.84 m
↓
N 76.008127°
W 97.918396°		 ← 73.85 m →
5 453 m²		 N 76.008127°
W 97.915649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228008270263672 y=0.166103363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228008270263672 × 217)
    floor (0.228008270263672 × 131072)
    floor (29885.5)     		tx = 29885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166103363037109 × 217)
    floor (0.166103363037109 × 131072)
    floor (21771.5)     		ty = 21771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29885 / 21771 ti = "17/29885/21771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29885/21771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29885 ÷ 217
    29885 ÷ 131072     		x = 0.228004455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21771 ÷ 217
    21771 ÷ 131072     		y = 0.166099548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228004455566406 × 2 - 1) × π
    -0.543991088867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.70899841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166099548339844 × 2 - 1) × π
    0.667800903320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.09795841187176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70899841} λ = -1.70899841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09795841187176))-π/2
    2×atan(8.14951496407843)-π/2
    2×1.44869999499868-π/2
    2.89739998999735-1.57079632675     		φ = 1.32660366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70899841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.918396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32660366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.008791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29885 KachelY 21771 -1.70899841 1.32660366 -97.918396 76.008791
    Oben rechts KachelX + 1 29886 KachelY 21771 -1.70895047 1.32660366 -97.915649 76.008791
    Unten links KachelX 29885 KachelY + 1 21772 -1.70899841 1.32659207 -97.918396 76.008127
    Unten rechts KachelX + 1 29886 KachelY + 1 21772 -1.70895047 1.32659207 -97.915649 76.008127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32660366-1.32659207) × R
    1.15899999999503e-05 × 6371000     		dl = 73.8398899996831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32660366-1.32659207) × R
    1.15899999999503e-05 × 6371000     		dr = 73.8398899996831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70899841--1.70895047) × cos(1.32660366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24177302175018 × 6371000     		do = 73.8437040800365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70899841--1.70895047) × cos(1.32659207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241784267891471 × 6371000     		du = 73.8471389410623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32660366)-sin(1.32659207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24177302175018-0.241784267891471)×R²
    abs(-1.70895047--1.70899841)×1.12461412906661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12461412906661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12461412906661e-05×40589641000000     		ar = 5452.73780129124m²