Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29884 / 42548
↖ ↑ ↗
← S 47.234489°
W 15.842285°		 ← 414.77 m → S 47.234489°
W 15.836792°		 →
↑
414.75 m
↓
↑
414.75 m
↓
S 47.238219°
W 15.842285°		 ← 414.74 m →
172 020 m²		 S 47.238219°
W 15.836792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456001281738281 y=0.649238586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456001281738281 × 216)
    floor (0.456001281738281 × 65536)
    floor (29884.5)     		tx = 29884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649238586425781 × 216)
    floor (0.649238586425781 × 65536)
    floor (42548.5)     		ty = 42548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29884 / 42548 ti = "16/29884/42548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29884/42548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29884 ÷ 216
    29884 ÷ 65536     		x = 0.45599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42548 ÷ 216
    42548 ÷ 65536     		y = 0.64923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27650004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937645756568298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27650004} λ = -0.27650004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937645756568298))-π/2
    2×atan(0.391548551744152)-π/2
    2×0.373199481088994-π/2
    0.746398962177987-1.57079632675     		φ = -0.82439736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27650004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82439736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.234489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29884 KachelY 42548 -0.27650004 -0.82439736 -15.842285 -47.234489
    Oben rechts KachelX + 1 29885 KachelY 42548 -0.27640416 -0.82439736 -15.836792 -47.234489
    Unten links KachelX 29884 KachelY + 1 42549 -0.27650004 -0.82446246 -15.842285 -47.238219
    Unten rechts KachelX + 1 29885 KachelY + 1 42549 -0.27640416 -0.82446246 -15.836792 -47.238219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82439736--0.82446246) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dl = 414.752100000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82439736--0.82446246) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dr = 414.752100000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27650004--0.27640416) × cos(-0.82439736) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67899951025509 × 6371000     		do = 414.767855758565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27650004--0.27640416) × cos(-0.82446246) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678951716385432 × 6371000     		du = 414.73866080255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82439736)-sin(-0.82446246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67899951025509-0.678951716385432)×R²
    abs(-0.27640416--0.27650004)×4.77938696575864e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77938696575864e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77938696575864e-05×40589641000000     		ar = 172019.784914457m²