Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29884 / 29573
↖ ↑ ↗
← S 80.881537°
E148.315430°		 ← 193.60 m → S 80.881537°
E148.326416°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
S 80.883277°
E148.315430°		 ← 193.56 m →
37 468 m²		 S 80.883277°
E148.326416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912002563476562 y=0.902511596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912002563476562 × 215)
    floor (0.912002563476562 × 32768)
    floor (29884.5)     		tx = 29884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902511596679688 × 215)
    floor (0.902511596679688 × 32768)
    floor (29573.5)     		ty = 29573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29884 / 29573 ti = "15/29884/29573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29884/29573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29884 ÷ 215
    29884 ÷ 32768     		x = 0.9119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29573 ÷ 215
    29573 ÷ 32768     		y = 0.902496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9119873046875 × 2 - 1) × π
    0.823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58859258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.80499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52895907635568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58859258} λ = 2.58859258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52895907635568))-π/2
    2×atan(0.0797419824147266)-π/2
    2×0.0795736036855026-π/2
    0.159147207371005-1.57079632675     		φ = -1.41164912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58859258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41164912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.881537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29884 KachelY 29573 2.58859258 -1.41164912 148.315430 -80.881537
    Oben rechts KachelX + 1 29885 KachelY 29573 2.58878433 -1.41164912 148.326416 -80.881537
    Unten links KachelX 29884 KachelY + 1 29574 2.58859258 -1.41167950 148.315430 -80.883277
    Unten rechts KachelX + 1 29885 KachelY + 1 29574 2.58878433 -1.41167950 148.326416 -80.883277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41164912--1.41167950) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41164912--1.41167950) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58859258-2.58878433) × cos(-1.41164912) × R
    0.000191750000000379 × 0.158476248064559 × 6371000     		do = 193.600804828785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58859258-2.58878433) × cos(-1.41167950) × R
    0.000191750000000379 × 0.158446251909876 × 6371000     		du = 193.564160348875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41164912)-sin(-1.41167950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158476248064559-0.158446251909876)×R²
    abs(2.58878433-2.58859258)×2.99961546835759e-05×R²
    0.000191750000000379×2.99961546835759e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.99961546835759e-05×40589641000000     		ar = 37468.0792186954m²