Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29884 / 21772
↖ ↑ ↗
← N 76.008127°
W 97.921143°		 ← 73.85 m → N 76.008127°
W 97.918396°		 →
↑
73.84 m
↓
↑
73.84 m
↓
N 76.007463°
W 97.921143°		 ← 73.85 m →
5 453 m²		 N 76.007463°
W 97.918396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228000640869141 y=0.166110992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228000640869141 × 217)
    floor (0.228000640869141 × 131072)
    floor (29884.5)     		tx = 29884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166110992431641 × 217)
    floor (0.166110992431641 × 131072)
    floor (21772.5)     		ty = 21772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29884 / 21772 ti = "17/29884/21772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29884/21772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29884 ÷ 217
    29884 ÷ 131072     		x = 0.227996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21772 ÷ 217
    21772 ÷ 131072     		y = 0.166107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.54400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70904635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166107177734375 × 2 - 1) × π
    0.66778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09791047497214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70904635} λ = -1.70904635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09791047497214))-π/2
    2×atan(8.14912431096107)-π/2
    2×1.44869419993944-π/2
    2.89738839987887-1.57079632675     		φ = 1.32659207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70904635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32659207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.008127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29884 KachelY 21772 -1.70904635 1.32659207 -97.921143 76.008127
    Oben rechts KachelX + 1 29885 KachelY 21772 -1.70899841 1.32659207 -97.918396 76.008127
    Unten links KachelX 29884 KachelY + 1 21773 -1.70904635 1.32658048 -97.921143 76.007463
    Unten rechts KachelX + 1 29885 KachelY + 1 21773 -1.70899841 1.32658048 -97.918396 76.007463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32659207-1.32658048) × R
    1.15899999999503e-05 × 6371000     		dl = 73.8398899996831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32659207-1.32658048) × R
    1.15899999999503e-05 × 6371000     		dr = 73.8398899996831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70904635--1.70899841) × cos(1.32659207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241784267891471 × 6371000     		do = 73.8471389410623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70904635--1.70899841) × cos(1.32658048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241795514000283 × 6371000     		du = 73.8505737921684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32659207)-sin(1.32658048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241784267891471-0.241795514000283)×R²
    abs(-1.70899841--1.70904635)×1.12461088122573e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12461088122573e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12461088122573e-05×40589641000000     		ar = 5452.99143075583m²