Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29882 / 42598
↖ ↑ ↗
← S 47.420654°
W 15.853271°		 ← 413.27 m → S 47.420654°
W 15.847778°		 →
↑
413.29 m
↓
↑
413.29 m
↓
S 47.424371°
W 15.853271°		 ← 413.24 m →
170 791 m²		 S 47.424371°
W 15.847778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455970764160156 y=0.650001525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455970764160156 × 216)
    floor (0.455970764160156 × 65536)
    floor (29882.5)     		tx = 29882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650001525878906 × 216)
    floor (0.650001525878906 × 65536)
    floor (42598.5)     		ty = 42598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29882 / 42598 ti = "16/29882/42598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29882/42598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29882 ÷ 216
    29882 ÷ 65536     		x = 0.455963134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42598 ÷ 216
    42598 ÷ 65536     		y = 0.649993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455963134765625 × 2 - 1) × π
    -0.08807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27669178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.29998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.942439446530304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27669178} λ = -0.27669178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942439446530304))-π/2
    2×atan(0.389676080989845)-π/2
    2×0.371574887733301-π/2
    0.743149775466602-1.57079632675     		φ = -0.82764655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27669178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.853271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82764655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.420654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29882 KachelY 42598 -0.27669178 -0.82764655 -15.853271 -47.420654
    Oben rechts KachelX + 1 29883 KachelY 42598 -0.27659591 -0.82764655 -15.847778 -47.420654
    Unten links KachelX 29882 KachelY + 1 42599 -0.27669178 -0.82771142 -15.853271 -47.424371
    Unten rechts KachelX + 1 29883 KachelY + 1 42599 -0.27659591 -0.82771142 -15.847778 -47.424371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82764655--0.82771142) × R
    6.48699999999947e-05 × 6371000     		dl = 413.286769999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82764655--0.82771142) × R
    6.48699999999947e-05 × 6371000     		dr = 413.286769999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27669178--0.27659591) × cos(-0.82764655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676610574078035 × 6371000     		do = 413.265463699534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27669178--0.27659591) × cos(-0.82771142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676562806211005 × 6371000     		du = 413.236287670553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82764655)-sin(-0.82771142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676610574078035-0.676562806211005)×R²
    abs(-0.27659591--0.27669178)×4.77678670294246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77678670294246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77678670294246e-05×40589641000000     		ar = 170791.119671435m²