Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29882 / 15107
↖ ↑ ↗
← N 69.156695°
W 15.853271°		 ← 217.33 m → N 69.156695°
W 15.847778°		 →
↑
217.38 m
↓
↑
217.38 m
↓
N 69.154740°
W 15.853271°		 ← 217.35 m →
47 244 m²		 N 69.154740°
W 15.847778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455970764160156 y=0.230522155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455970764160156 × 216)
    floor (0.455970764160156 × 65536)
    floor (29882.5)     		tx = 29882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230522155761719 × 216)
    floor (0.230522155761719 × 65536)
    floor (15107.5)     		ty = 15107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29882 / 15107 ti = "16/29882/15107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29882/15107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29882 ÷ 216
    29882 ÷ 65536     		x = 0.455963134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15107 ÷ 216
    15107 ÷ 65536     		y = 0.230514526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455963134765625 × 2 - 1) × π
    -0.08807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27669178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230514526367188 × 2 - 1) × π
    0.538970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69322716837962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27669178} λ = -0.27669178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69322716837962))-π/2
    2×atan(5.43699853318372)-π/2
    2×1.38890417778847-π/2
    2.77780835557695-1.57079632675     		φ = 1.20701203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27669178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.853271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20701203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.156695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29882 KachelY 15107 -0.27669178 1.20701203 -15.853271 69.156695
    Oben rechts KachelX + 1 29883 KachelY 15107 -0.27659591 1.20701203 -15.847778 69.156695
    Unten links KachelX 29882 KachelY + 1 15108 -0.27669178 1.20697791 -15.853271 69.154740
    Unten rechts KachelX + 1 29883 KachelY + 1 15108 -0.27659591 1.20697791 -15.847778 69.154740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20701203-1.20697791) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dl = 217.378520000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20701203-1.20697791) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dr = 217.378520000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27669178--0.27659591) × cos(1.20701203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355813413732461 × 6371000     		do = 217.326481509732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27669178--0.27659591) × cos(1.20697791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355845300610698 × 6371000     		du = 217.345957624983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20701203)-sin(1.20697791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355813413732461-0.355845300610698)×R²
    abs(-0.27659591--0.27669178)×3.18868782370751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18868782370751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18868782370751e-05×40589641000000     		ar = 47244.2257565546m²