Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29881 / 43048
↖ ↑ ↗
← S 49.066669°
W 15.858765°		 ← 400.22 m → S 49.066669°
W 15.853271°		 →
↑
400.16 m
↓
↑
400.16 m
↓
S 49.070267°
W 15.858765°		 ← 400.19 m →
160 146 m²		 S 49.070267°
W 15.853271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455955505371094 y=0.656867980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455955505371094 × 216)
    floor (0.455955505371094 × 65536)
    floor (29881.5)     		tx = 29881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656867980957031 × 216)
    floor (0.656867980957031 × 65536)
    floor (43048.5)     		ty = 43048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29881 / 43048 ti = "16/29881/43048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29881/43048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29881 ÷ 216
    29881 ÷ 65536     		x = 0.455947875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43048 ÷ 216
    43048 ÷ 65536     		y = 0.6568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455947875976562 × 2 - 1) × π
    -0.088104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27678766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.985582656188355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27678766} λ = -0.27678766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985582656188355))-π/2
    2×atan(0.373221703636914)-π/2
    2×0.357210705163109-π/2
    0.714421410326218-1.57079632675     		φ = -0.85637492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27678766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.858765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85637492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.066669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29881 KachelY 43048 -0.27678766 -0.85637492 -15.858765 -49.066669
    Oben rechts KachelX + 1 29882 KachelY 43048 -0.27669178 -0.85637492 -15.853271 -49.066669
    Unten links KachelX 29881 KachelY + 1 43049 -0.27678766 -0.85643773 -15.858765 -49.070267
    Unten rechts KachelX + 1 29882 KachelY + 1 43049 -0.27669178 -0.85643773 -15.853271 -49.070267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85637492--0.85643773) × R
    6.28099999999687e-05 × 6371000     		dl = 400.162509999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85637492--0.85643773) × R
    6.28099999999687e-05 × 6371000     		dr = 400.162509999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27678766--0.27669178) × cos(-0.85637492) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.655180415162382 × 6371000     		do = 400.217926268925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27678766--0.27669178) × cos(-0.85643773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.655132962645417 × 6371000     		du = 400.188939828707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85637492)-sin(-0.85643773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655180415162382-0.655132962645417)×R²
    abs(-0.27669178--0.27678766)×4.74525169646967e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74525169646967e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74525169646967e-05×40589641000000     		ar = 160146.41033235m²