Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29880 / 29624
↖ ↑ ↗
← S 80.969904°
E148.271484°		 ← 191.74 m → S 80.969904°
E148.282471°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
S 80.971628°
E148.271484°		 ← 191.70 m →
36 754 m²		 S 80.971628°
E148.282471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911880493164062 y=0.904067993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911880493164062 × 215)
    floor (0.911880493164062 × 32768)
    floor (29880.5)     		tx = 29880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904067993164062 × 215)
    floor (0.904067993164062 × 32768)
    floor (29624.5)     		ty = 29624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29880 / 29624 ti = "15/29880/29624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29880/29624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29880 ÷ 215
    29880 ÷ 32768     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29624 ÷ 215
    29624 ÷ 32768     		y = 0.904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.80810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53873820387817))-π/2
    2×atan(0.0789659759172469)-π/2
    2×0.0788024532019963-π/2
    0.157604906403993-1.57079632675     		φ = -1.41319142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41319142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.969904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29880 KachelY 29624 2.58782559 -1.41319142 148.271484 -80.969904
    Oben rechts KachelX + 1 29881 KachelY 29624 2.58801734 -1.41319142 148.282471 -80.969904
    Unten links KachelX 29880 KachelY + 1 29625 2.58782559 -1.41322151 148.271484 -80.971628
    Unten rechts KachelX + 1 29881 KachelY + 1 29625 2.58801734 -1.41322151 148.282471 -80.971628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41319142--1.41322151) × R
    3.00900000000937e-05 × 6371000     		dl = 191.703390000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41319142--1.41322151) × R
    3.00900000000937e-05 × 6371000     		dr = 191.703390000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58801734) × cos(-1.41319142) × R
    0.000191749999999935 × 0.156953250554634 × 6371000     		do = 191.740251292561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58801734) × cos(-1.41322151) × R
    0.000191749999999935 × 0.156923533418042 × 6371000     		du = 191.703947672101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41319142)-sin(-1.41322151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156953250554634-0.156923533418042)×R²
    abs(2.58801734-2.58782559)×2.97171365929438e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97171365929438e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97171365929438e-05×40589641000000     		ar = 36753.7764119219m²