Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29880 / 29543
↖ ↑ ↗
← S 80.829156°
E148.271484°		 ← 194.70 m → S 80.829156°
E148.282471°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
S 80.830907°
E148.271484°		 ← 194.67 m →
37 905 m²		 S 80.830907°
E148.282471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911880493164062 y=0.901596069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911880493164062 × 215)
    floor (0.911880493164062 × 32768)
    floor (29880.5)     		tx = 29880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901596069335938 × 215)
    floor (0.901596069335938 × 32768)
    floor (29543.5)     		ty = 29543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29880 / 29543 ti = "15/29880/29543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29880/29543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29880 ÷ 215
    29880 ÷ 32768     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29543 ÷ 215
    29543 ÷ 32768     		y = 0.901580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.80316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52320664840128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52320664840128))-π/2
    2×atan(0.0802020143051083)-π/2
    2×0.0800307121216438-π/2
    0.160061424243288-1.57079632675     		φ = -1.41073490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41073490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.829156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29880 KachelY 29543 2.58782559 -1.41073490 148.271484 -80.829156
    Oben rechts KachelX + 1 29881 KachelY 29543 2.58801734 -1.41073490 148.282471 -80.829156
    Unten links KachelX 29880 KachelY + 1 29544 2.58782559 -1.41076546 148.271484 -80.830907
    Unten rechts KachelX + 1 29881 KachelY + 1 29544 2.58801734 -1.41076546 148.282471 -80.830907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41073490--1.41076546) × R
    3.05599999999018e-05 × 6371000     		dl = 194.697759999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41073490--1.41076546) × R
    3.05599999999018e-05 × 6371000     		dr = 194.697759999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58801734) × cos(-1.41073490) × R
    0.000191749999999935 × 0.159378848521486 × 6371000     		do = 194.703456973586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58801734) × cos(-1.41076546) × R
    0.000191749999999935 × 0.159348679080418 × 6371000     		du = 194.666600800226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41073490)-sin(-1.41076546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159378848521486-0.159348679080418)×R²
    abs(2.58801734-2.58782559)×3.01694410686781e-05×R²
    0.000191749999999935×3.01694410686781e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.01694410686781e-05×40589641000000     		ar = 37904.7390324407m²