Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29879 / 42559
↖ ↑ ↗
← S 47.275502°
W 15.869751°		 ← 414.45 m → S 47.275502°
W 15.864258°		 →
↑
414.37 m
↓
↑
414.37 m
↓
S 47.279229°
W 15.869751°		 ← 414.42 m →
171 728 m²		 S 47.279229°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455924987792969 y=0.649406433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455924987792969 × 216)
    floor (0.455924987792969 × 65536)
    floor (29879.5)     		tx = 29879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649406433105469 × 216)
    floor (0.649406433105469 × 65536)
    floor (42559.5)     		ty = 42559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29879 / 42559 ti = "16/29879/42559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29879/42559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29879 ÷ 216
    29879 ÷ 65536     		x = 0.455917358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42559 ÷ 216
    42559 ÷ 65536     		y = 0.649398803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455917358398438 × 2 - 1) × π
    -0.088165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27697941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649398803710938 × 2 - 1) × π
    -0.298797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.93870036835994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27697941} λ = -0.27697941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93870036835994))-π/2
    2×atan(0.391135837689289)-π/2
    2×0.372841579243639-π/2
    0.745683158487279-1.57079632675     		φ = -0.82511317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27697941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.869751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82511317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.275502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29879 KachelY 42559 -0.27697941 -0.82511317 -15.869751 -47.275502
    Oben rechts KachelX + 1 29880 KachelY 42559 -0.27688353 -0.82511317 -15.864258 -47.275502
    Unten links KachelX 29879 KachelY + 1 42560 -0.27697941 -0.82517821 -15.869751 -47.279229
    Unten rechts KachelX + 1 29880 KachelY + 1 42560 -0.27688353 -0.82517821 -15.864258 -47.279229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82511317--0.82517821) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dl = 414.369840000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82511317--0.82517821) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dr = 414.369840000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27697941--0.27688353) × cos(-0.82511317) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678473832506209 × 6371000     		do = 414.446744727658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27697941--0.27688353) × cos(-0.82517821) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67842605108918 × 6371000     		du = 414.417557378349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82511317)-sin(-0.82517821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678473832506209-0.67842605108918)×R²
    abs(-0.27688353--0.27697941)×4.77814170289914e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77814170289914e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77814170289914e-05×40589641000000     		ar = 171728.184183413m²