Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29878 / 42556
↖ ↑ ↗
← S 47.264320°
W 15.875244°		 ← 414.49 m → S 47.264320°
W 15.869751°		 →
↑
414.50 m
↓
↑
414.50 m
↓
S 47.268048°
W 15.875244°		 ← 414.46 m →
171 799 m²		 S 47.268048°
W 15.869751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455909729003906 y=0.649360656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455909729003906 × 216)
    floor (0.455909729003906 × 65536)
    floor (29878.5)     		tx = 29878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649360656738281 × 216)
    floor (0.649360656738281 × 65536)
    floor (42556.5)     		ty = 42556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29878 / 42556 ti = "16/29878/42556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29878/42556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29878 ÷ 216
    29878 ÷ 65536     		x = 0.455902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42556 ÷ 216
    42556 ÷ 65536     		y = 0.64935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.08819580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27707528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.2987060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.938412746962219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27707528} λ = -0.27707528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938412746962219))-π/2
    2×atan(0.39124835290574)-π/2
    2×0.372939161348091-π/2
    0.745878322696182-1.57079632675     		φ = -0.82491800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27707528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.875244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82491800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.264320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29878 KachelY 42556 -0.27707528 -0.82491800 -15.875244 -47.264320
    Oben rechts KachelX + 1 29879 KachelY 42556 -0.27697941 -0.82491800 -15.869751 -47.264320
    Unten links KachelX 29878 KachelY + 1 42557 -0.27707528 -0.82498306 -15.875244 -47.268048
    Unten rechts KachelX + 1 29879 KachelY + 1 42557 -0.27697941 -0.82498306 -15.869751 -47.268048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82491800--0.82498306) × R
    6.50599999999502e-05 × 6371000     		dl = 414.497259999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82491800--0.82498306) × R
    6.50599999999502e-05 × 6371000     		dr = 414.497259999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27707528--0.27697941) × cos(-0.82491800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678617196260608 × 6371000     		do = 414.49108398766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27707528--0.27697941) × cos(-0.82498306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.67856940876591 × 6371000     		du = 414.46189597034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82491800)-sin(-0.82498306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678617196260608-0.67856940876591)×R²
    abs(-0.27697941--0.27707528)×4.77874946980261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77874946980261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77874946980261e-05×40589641000000     		ar = 171799.36949083m²