Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29878 / 15178
↖ ↑ ↗
← N 69.017480°
W 15.875244°		 ← 218.71 m → N 69.017480°
W 15.869751°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
N 69.015513°
W 15.875244°		 ← 218.73 m →
47 838 m²		 N 69.015513°
W 15.869751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455909729003906 y=0.231605529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455909729003906 × 216)
    floor (0.455909729003906 × 65536)
    floor (29878.5)     		tx = 29878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231605529785156 × 216)
    floor (0.231605529785156 × 65536)
    floor (15178.5)     		ty = 15178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29878 / 15178 ti = "16/29878/15178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29878/15178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29878 ÷ 216
    29878 ÷ 65536     		x = 0.455902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15178 ÷ 216
    15178 ÷ 65536     		y = 0.231597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.08819580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27707528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231597900390625 × 2 - 1) × π
    0.53680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68642012863358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27707528} λ = -0.27707528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68642012863358))-π/2
    2×atan(5.40011434655272)-π/2
    2×1.38768930078612-π/2
    2.77537860157223-1.57079632675     		φ = 1.20458227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27707528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.875244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20458227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.017480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29878 KachelY 15178 -0.27707528 1.20458227 -15.875244 69.017480
    Oben rechts KachelX + 1 29879 KachelY 15178 -0.27697941 1.20458227 -15.869751 69.017480
    Unten links KachelX 29878 KachelY + 1 15179 -0.27707528 1.20454794 -15.875244 69.015513
    Unten rechts KachelX + 1 29879 KachelY + 1 15179 -0.27697941 1.20454794 -15.869751 69.015513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20458227-1.20454794) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dl = 218.71642999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20458227-1.20454794) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dr = 218.71642999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27707528--0.27697941) × cos(1.20458227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358083110438034 × 6371000     		do = 218.712784499106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27707528--0.27697941) × cos(1.20454794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358115163794973 × 6371000     		du = 218.732362297512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20458227)-sin(1.20454794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358083110438034-0.358115163794973)×R²
    abs(-0.27697941--0.27707528)×3.20533569393433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20533569393433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20533569393433e-05×40589641000000     		ar = 47838.2204187016m²