Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29877 / 42570
↖ ↑ ↗
← S 47.316483°
W 15.880737°		 ← 414.08 m → S 47.316483°
W 15.875244°		 →
↑
414.05 m
↓
↑
414.05 m
↓
S 47.320207°
W 15.880737°		 ← 414.05 m →
171 445 m²		 S 47.320207°
W 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455894470214844 y=0.649574279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455894470214844 × 216)
    floor (0.455894470214844 × 65536)
    floor (29877.5)     		tx = 29877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649574279785156 × 216)
    floor (0.649574279785156 × 65536)
    floor (42570.5)     		ty = 42570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29877 / 42570 ti = "16/29877/42570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29877/42570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29877 ÷ 216
    29877 ÷ 65536     		x = 0.455886840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42570 ÷ 216
    42570 ÷ 65536     		y = 0.649566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455886840820312 × 2 - 1) × π
    -0.088226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27717115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.29913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.939754980151581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27717115} λ = -0.27717115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939754980151581))-π/2
    2×atan(0.390723558658104)-π/2
    2×0.372483954573077-π/2
    0.744967909146155-1.57079632675     		φ = -0.82582842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27717115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.880737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82582842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.316483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29877 KachelY 42570 -0.27717115 -0.82582842 -15.880737 -47.316483
    Oben rechts KachelX + 1 29878 KachelY 42570 -0.27707528 -0.82582842 -15.875244 -47.316483
    Unten links KachelX 29877 KachelY + 1 42571 -0.27717115 -0.82589341 -15.880737 -47.320207
    Unten rechts KachelX + 1 29878 KachelY + 1 42571 -0.27707528 -0.82589341 -15.875244 -47.320207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82582842--0.82589341) × R
    6.49900000000425e-05 × 6371000     		dl = 414.051290000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82582842--0.82589341) × R
    6.49900000000425e-05 × 6371000     		dr = 414.051290000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27717115--0.27707528) × cos(-0.82582842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677948218779752 × 6371000     		do = 414.082480723948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27717115--0.27707528) × cos(-0.82589341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677900442571238 × 6371000     		du = 414.053299600091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82582842)-sin(-0.82589341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677948218779752-0.677900442571238)×R²
    abs(-0.27707528--0.27717115)×4.77762085137057e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77762085137057e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77762085137057e-05×40589641000000     		ar = 171445.344129749m²