Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29877 / 41148
↖ ↑ ↗
← S 41.754922°
W 15.880737°		 ← 455.65 m → S 41.754922°
W 15.875244°		 →
↑
455.65 m
↓
↑
455.65 m
↓
S 41.759020°
W 15.880737°		 ← 455.62 m →
207 611 m²		 S 41.759020°
W 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455894470214844 y=0.627876281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455894470214844 × 216)
    floor (0.455894470214844 × 65536)
    floor (29877.5)     		tx = 29877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627876281738281 × 216)
    floor (0.627876281738281 × 65536)
    floor (41148.5)     		ty = 41148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29877 / 41148 ti = "16/29877/41148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29877/41148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29877 ÷ 216
    29877 ÷ 65536     		x = 0.455886840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41148 ÷ 216
    41148 ÷ 65536     		y = 0.62786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455886840820312 × 2 - 1) × π
    -0.088226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27717115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.2557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.803422437632141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27717115} λ = -0.27717115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803422437632141))-π/2
    2×atan(0.447793792274624)-π/2
    2×0.42101772803617-π/2
    0.842035456072341-1.57079632675     		φ = -0.72876087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27717115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.880737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72876087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.754922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29877 KachelY 41148 -0.27717115 -0.72876087 -15.880737 -41.754922
    Oben rechts KachelX + 1 29878 KachelY 41148 -0.27707528 -0.72876087 -15.875244 -41.754922
    Unten links KachelX 29877 KachelY + 1 41149 -0.27717115 -0.72883239 -15.880737 -41.759020
    Unten rechts KachelX + 1 29878 KachelY + 1 41149 -0.27707528 -0.72883239 -15.875244 -41.759020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72876087--0.72883239) × R
    7.15199999999916e-05 × 6371000     		dl = 455.653919999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72876087--0.72883239) × R
    7.15199999999916e-05 × 6371000     		dr = 455.653919999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27717115--0.27707528) × cos(-0.72876087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746000168217831 × 6371000     		do = 455.647779165384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27717115--0.27707528) × cos(-0.72883239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.745952537869516 × 6371000     		du = 455.618687131152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72876087)-sin(-0.72883239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746000168217831-0.745952537869516)×R²
    abs(-0.27707528--0.27717115)×4.76303483158969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76303483158969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76303483158969e-05×40589641000000     		ar = 207611.068854819m²