Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29877 / 29564
↖ ↑ ↗
← S 80.865854°
E148.238526°		 ← 193.92 m → S 80.865854°
E148.249511°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 80.867598°
E148.238526°		 ← 193.88 m →
37 604 m²		 S 80.867598°
E148.249511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911788940429688 y=0.902236938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911788940429688 × 215)
    floor (0.911788940429688 × 32768)
    floor (29877.5)     		tx = 29877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902236938476562 × 215)
    floor (0.902236938476562 × 32768)
    floor (29564.5)     		ty = 29564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29877 / 29564 ti = "15/29877/29564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29877/29564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29877 ÷ 215
    29877 ÷ 32768     		x = 0.911773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29564 ÷ 215
    29564 ÷ 32768     		y = 0.9022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911773681640625 × 2 - 1) × π
    0.82354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58725035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58725035} λ = 2.58725035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52723334796936))-π/2
    2×atan(0.0798797142270283)-π/2
    2×0.0797104637303788-π/2
    0.159420927460758-1.57079632675     		φ = -1.41137540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58725035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41137540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.865854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29877 KachelY 29564 2.58725035 -1.41137540 148.238526 -80.865854
    Oben rechts KachelX + 1 29878 KachelY 29564 2.58744209 -1.41137540 148.249511 -80.865854
    Unten links KachelX 29877 KachelY + 1 29565 2.58725035 -1.41140584 148.238526 -80.867598
    Unten rechts KachelX + 1 29878 KachelY + 1 29565 2.58744209 -1.41140584 148.249511 -80.867598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41137540--1.41140584) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41137540--1.41140584) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58725035-2.58744209) × cos(-1.41137540) × R
    0.000191739999999996 × 0.158746503067296 × 6371000     		do = 193.920845207539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58725035-2.58744209) × cos(-1.41140584) × R
    0.000191739999999996 × 0.158716448991986 × 6371000     		du = 193.884131884264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41137540)-sin(-1.41140584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158746503067296-0.158716448991986)×R²
    abs(2.58744209-2.58725035)×3.00540753095657e-05×R²
    0.000191739999999996×3.00540753095657e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.00540753095657e-05×40589641000000     		ar = 37604.137850978m²