Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29876 / 43124
↖ ↑ ↗
← S 49.339441°
W 15.886231°		 ← 398.02 m → S 49.339441°
W 15.880737°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
S 49.343020°
W 15.886231°		 ← 397.99 m →
158 378 m²		 S 49.343020°
W 15.880737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455879211425781 y=0.658027648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455879211425781 × 216)
    floor (0.455879211425781 × 65536)
    floor (29876.5)     		tx = 29876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658027648925781 × 216)
    floor (0.658027648925781 × 65536)
    floor (43124.5)     		ty = 43124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29876 / 43124 ti = "16/29876/43124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29876/43124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29876 ÷ 216
    29876 ÷ 65536     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43124 ÷ 216
    43124 ÷ 65536     		y = 0.65802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.3160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.992869064930603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992869064930603))-π/2
    2×atan(0.370512141230282)-π/2
    2×0.354830315683374-π/2
    0.709660631366748-1.57079632675     		φ = -0.86113570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86113570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.339441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29876 KachelY 43124 -0.27726703 -0.86113570 -15.886231 -49.339441
    Oben rechts KachelX + 1 29877 KachelY 43124 -0.27717115 -0.86113570 -15.880737 -49.339441
    Unten links KachelX 29876 KachelY + 1 43125 -0.27726703 -0.86119816 -15.886231 -49.343020
    Unten rechts KachelX + 1 29877 KachelY + 1 43125 -0.27717115 -0.86119816 -15.880737 -49.343020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86113570--0.86119816) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dl = 397.932660000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86113570--0.86119816) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dr = 397.932660000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27717115) × cos(-0.86113570) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.651576365788787 × 6371000     		do = 398.016387375302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27717115) × cos(-0.86119816) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.651528983420706 × 6371000     		du = 397.987443785634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86113570)-sin(-0.86119816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651576365788787-0.651528983420706)×R²
    abs(-0.27717115--0.27726703)×4.73823680808838e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73823680808838e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73823680808838e-05×40589641000000     		ar = 158377.961004023m²