Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29876 / 29563
↖ ↑ ↗
← S 80.864110°
E148.227539°		 ← 193.97 m → S 80.864110°
E148.238526°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 80.865854°
E148.227539°		 ← 193.93 m →
37 613 m²		 S 80.865854°
E148.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911758422851562 y=0.902206420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911758422851562 × 215)
    floor (0.911758422851562 × 32768)
    floor (29876.5)     		tx = 29876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902206420898438 × 215)
    floor (0.902206420898438 × 32768)
    floor (29563.5)     		ty = 29563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29876 / 29563 ti = "15/29876/29563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29876/29563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29876 ÷ 215
    29876 ÷ 32768     		x = 0.9117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29563 ÷ 215
    29563 ÷ 32768     		y = 0.902191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9117431640625 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58705860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.80438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52704160037088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58705860} λ = 2.58705860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52704160037088))-π/2
    2×atan(0.0798950324389669)-π/2
    2×0.0797256848015562-π/2
    0.159451369603112-1.57079632675     		φ = -1.41134496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58705860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41134496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.864110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29876 KachelY 29563 2.58705860 -1.41134496 148.227539 -80.864110
    Oben rechts KachelX + 1 29877 KachelY 29563 2.58725035 -1.41134496 148.238526 -80.864110
    Unten links KachelX 29876 KachelY + 1 29564 2.58705860 -1.41137540 148.227539 -80.865854
    Unten rechts KachelX + 1 29877 KachelY + 1 29564 2.58725035 -1.41137540 148.238526 -80.865854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41134496--1.41137540) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41134496--1.41137540) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58705860-2.58725035) × cos(-1.41134496) × R
    0.000191749999999935 × 0.158776556995512 × 6371000     		do = 193.967674005514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58705860-2.58725035) × cos(-1.41137540) × R
    0.000191749999999935 × 0.158746503067296 × 6371000     		du = 193.930958947188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41134496)-sin(-1.41137540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158776556995512-0.158746503067296)×R²
    abs(2.58725035-2.58705860)×3.00539282160617e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00539282160617e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00539282160617e-05×40589641000000     		ar = 37613.2193428063m²