Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29874 / 17871
↖ ↑ ↗
← N 63.037530°
W 15.897217°		 ← 276.96 m → N 63.037530°
W 15.891724°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 63.035039°
W 15.897217°		 ← 276.99 m →
76 708 m²		 N 63.035039°
W 15.891724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455848693847656 y=0.272697448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455848693847656 × 216)
    floor (0.455848693847656 × 65536)
    floor (29874.5)     		tx = 29874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272697448730469 × 216)
    floor (0.272697448730469 × 65536)
    floor (17871.5)     		ty = 17871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29874 / 17871 ti = "16/29874/17871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29874/17871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29874 ÷ 216
    29874 ÷ 65536     		x = 0.455841064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17871 ÷ 216
    17871 ÷ 65536     		y = 0.272689819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.08831787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27745878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272689819335938 × 2 - 1) × π
    0.454620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42823198727995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27745878} λ = -0.27745878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42823198727995))-π/2
    2×atan(4.17131772578448)-π/2
    2×1.33550438932184-π/2
    2.67100877864368-1.57079632675     		φ = 1.10021245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27745878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.897217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10021245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.037530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29874 KachelY 17871 -0.27745878 1.10021245 -15.897217 63.037530
    Oben rechts KachelX + 1 29875 KachelY 17871 -0.27736290 1.10021245 -15.891724 63.037530
    Unten links KachelX 29874 KachelY + 1 17872 -0.27745878 1.10016898 -15.897217 63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 29875 KachelY + 1 17872 -0.27736290 1.10016898 -15.891724 63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10021245-1.10016898) × R
    4.34699999998234e-05 × 6371000     		dl = 276.947369998875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10021245-1.10016898) × R
    4.34699999998234e-05 × 6371000     		dr = 276.947369998875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27745878--0.27736290) × cos(1.10021245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453406774186826 × 6371000     		do = 276.964199054027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27745878--0.27736290) × cos(1.10016898) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 276.9878662159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10021245)-sin(1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453406774186826-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.27736290--0.27745878)×3.87445437187717e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87445437187717e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87445437187717e-05×40589641000000     		ar = 76707.7838030932m²