Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29873 / 31728
↖ ↑ ↗
← N 67.625954°
W 97.951355°		 ← 116.26 m → N 67.625954°
W 97.948608°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
N 67.624909°
W 97.951355°		 ← 116.27 m →
13 511 m²		 N 67.624909°
W 97.948608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227916717529297 y=0.242069244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227916717529297 × 217)
    floor (0.227916717529297 × 131072)
    floor (29873.5)     		tx = 29873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242069244384766 × 217)
    floor (0.242069244384766 × 131072)
    floor (31728.5)     		ty = 31728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29873 / 31728 ti = "17/29873/31728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29873/31728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29873 ÷ 217
    29873 ÷ 131072     		x = 0.227912902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31728 ÷ 217
    31728 ÷ 131072     		y = 0.2420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227912902832031 × 2 - 1) × π
    -0.544174194335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.70957365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2420654296875 × 2 - 1) × π
    0.515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62065070235486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70957365} λ = -1.70957365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62065070235486))-π/2
    2×atan(5.05637944433771)-π/2
    2×1.37554594533073-π/2
    2.75109189066146-1.57079632675     		φ = 1.18029556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70957365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.951355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18029556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.625954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29873 KachelY 31728 -1.70957365 1.18029556 -97.951355 67.625954
    Oben rechts KachelX + 1 29874 KachelY 31728 -1.70952571 1.18029556 -97.948608 67.625954
    Unten links KachelX 29873 KachelY + 1 31729 -1.70957365 1.18027732 -97.951355 67.624909
    Unten rechts KachelX + 1 29874 KachelY + 1 31729 -1.70952571 1.18027732 -97.948608 67.624909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18029556-1.18027732) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18029556-1.18027732) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70957365--1.70952571) × cos(1.18029556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380651531179853 × 6371000     		do = 116.260775592664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70957365--1.70952571) × cos(1.18027732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380668397983032 × 6371000     		du = 116.265927148506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18029556)-sin(1.18027732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380651531179853-0.380668397983032)×R²
    abs(-1.70952571--1.70957365)×1.6866803178972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6866803178972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6866803178972e-05×40589641000000     		ar = 13510.619923686m²