Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29872 / 31664
↖ ↑ ↗
← N 67.692771°
W 97.954102°		 ← 115.93 m → N 67.692771°
W 97.951355°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 67.691729°
W 97.954102°		 ← 115.94 m →
13 435 m²		 N 67.691729°
W 97.951355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227909088134766 y=0.241580963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227909088134766 × 217)
    floor (0.227909088134766 × 131072)
    floor (29872.5)     		tx = 29872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241580963134766 × 217)
    floor (0.241580963134766 × 131072)
    floor (31664.5)     		ty = 31664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29872 / 31664 ti = "17/29872/31664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29872/31664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29872 ÷ 217
    29872 ÷ 131072     		x = 0.2279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31664 ÷ 217
    31664 ÷ 131072     		y = 0.2415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2415771484375 × 2 - 1) × π
    0.516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70962159} λ = -1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62371866393054))-π/2
    2×atan(5.07191604284225)-π/2
    2×1.37612902983175-π/2
    2.75225805966351-1.57079632675     		φ = 1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29872 KachelY 31664 -1.70962159 1.18146173 -97.954102 67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 29873 KachelY 31664 -1.70957365 1.18146173 -97.951355 67.692771
    Unten links KachelX 29872 KachelY + 1 31665 -1.70962159 1.18144354 -97.954102 67.691729
    Unten rechts KachelX + 1 29873 KachelY + 1 31665 -1.70957365 1.18144354 -97.951355 67.691729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18146173-1.18144354) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18146173-1.18144354) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70962159--1.70957365) × cos(1.18146173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379572893549339 × 6371000     		do = 115.931331896172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70962159--1.70957365) × cos(1.18144354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379589722180297 × 6371000     		du = 115.936471793236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18146173)-sin(1.18144354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379572893549339-0.379589722180297)×R²
    abs(-1.70957365--1.70962159)×1.68286309578103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68286309578103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68286309578103e-05×40589641000000     		ar = 13435.404825115m²