Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29872 / 29586
↖ ↑ ↗
← S 80.904143°
E148.183594°		 ← 193.12 m → S 80.904143°
E148.194580°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
S 80.905879°
E148.183594°		 ← 193.09 m →
37 290 m²		 S 80.905879°
E148.194580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911636352539062 y=0.902908325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911636352539062 × 215)
    floor (0.911636352539062 × 32768)
    floor (29872.5)     		tx = 29872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902908325195312 × 215)
    floor (0.902908325195312 × 32768)
    floor (29586.5)     		ty = 29586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29872 / 29586 ti = "15/29872/29586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29872/29586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29872 ÷ 215
    29872 ÷ 32768     		x = 0.91162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29586 ÷ 215
    29586 ÷ 32768     		y = 0.90289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58629161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.8057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53145179513593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58629161} λ = 2.58629161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53145179513593))-π/2
    2×atan(0.0795434556161252)-π/2
    2×0.0793763281985864-π/2
    0.158752656397173-1.57079632675     		φ = -1.41204367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58629161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41204367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.904143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29872 KachelY 29586 2.58629161 -1.41204367 148.183594 -80.904143
    Oben rechts KachelX + 1 29873 KachelY 29586 2.58648336 -1.41204367 148.194580 -80.904143
    Unten links KachelX 29872 KachelY + 1 29587 2.58629161 -1.41207398 148.183594 -80.905879
    Unten rechts KachelX + 1 29873 KachelY + 1 29587 2.58648336 -1.41207398 148.194580 -80.905879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41204367--1.41207398) × R
    3.03099999998668e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41204367--1.41207398) × R
    3.03099999998668e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58629161-2.58648336) × cos(-1.41204367) × R
    0.000191749999999935 × 0.158086671750953 × 6371000     		do = 193.124883112764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58629161-2.58648336) × cos(-1.41207398) × R
    0.000191749999999935 × 0.158056742819322 × 6371000     		du = 193.088320755174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41204367)-sin(-1.41207398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158086671750953-0.158056742819322)×R²
    abs(2.58648336-2.58629161)×2.99289316307294e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99289316307294e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99289316307294e-05×40589641000000     		ar = 37289.8523005611m²