Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29871 / 42553
↖ ↑ ↗
← S 47.253136°
W 15.913696°		 ← 414.62 m → S 47.253136°
W 15.908203°		 →
↑
414.56 m
↓
↑
414.56 m
↓
S 47.256864°
W 15.913696°		 ← 414.59 m →
171 880 m²		 S 47.256864°
W 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455802917480469 y=0.649314880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455802917480469 × 216)
    floor (0.455802917480469 × 65536)
    floor (29871.5)     		tx = 29871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649314880371094 × 216)
    floor (0.649314880371094 × 65536)
    floor (42553.5)     		ty = 42553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29871 / 42553 ti = "16/29871/42553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29871/42553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29871 ÷ 216
    29871 ÷ 65536     		x = 0.455795288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42553 ÷ 216
    42553 ÷ 65536     		y = 0.649307250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455795288085938 × 2 - 1) × π
    -0.088409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27774640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649307250976562 × 2 - 1) × π
    -0.298614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.938125125564499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27774640} λ = -0.27774640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938125125564499))-π/2
    2×atan(0.39136090048863)-π/2
    2×0.373036764069491-π/2
    0.746073528138983-1.57079632675     		φ = -0.82472280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27774640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.913696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82472280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.253136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29871 KachelY 42553 -0.27774640 -0.82472280 -15.913696 -47.253136
    Oben rechts KachelX + 1 29872 KachelY 42553 -0.27765052 -0.82472280 -15.908203 -47.253136
    Unten links KachelX 29871 KachelY + 1 42554 -0.27774640 -0.82478787 -15.913696 -47.256864
    Unten rechts KachelX + 1 29872 KachelY + 1 42554 -0.27765052 -0.82478787 -15.908203 -47.256864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82472280--0.82478787) × R
    6.50700000000004e-05 × 6371000     		dl = 414.560970000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82472280--0.82478787) × R
    6.50700000000004e-05 × 6371000     		dr = 414.560970000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27774640--0.27765052) × cos(-0.82472280) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678760556196367 × 6371000     		do = 414.621890318142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27774640--0.27765052) × cos(-0.82478787) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67871276997648 × 6371000     		du = 414.592700035001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82472280)-sin(-0.82478787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678760556196367-0.67871276997648)×R²
    abs(-0.27765052--0.27774640)×4.77862198864365e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77862198864365e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77862198864365e-05×40589641000000     		ar = 171880.002517859m²