Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29870 / 42566
↖ ↑ ↗
← S 47.301584°
W 15.919189°		 ← 414.20 m → S 47.301584°
W 15.913696°		 →
↑
414.18 m
↓
↑
414.18 m
↓
S 47.305309°
W 15.919189°		 ← 414.17 m →
171 546 m²		 S 47.305309°
W 15.913696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455787658691406 y=0.649513244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455787658691406 × 216)
    floor (0.455787658691406 × 65536)
    floor (29870.5)     		tx = 29870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649513244628906 × 216)
    floor (0.649513244628906 × 65536)
    floor (42566.5)     		ty = 42566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29870 / 42566 ti = "16/29870/42566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29870/42566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29870 ÷ 216
    29870 ÷ 65536     		x = 0.455780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42566 ÷ 216
    42566 ÷ 65536     		y = 0.649505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.08843994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27784227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.29901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.93937148495462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27784227} λ = -0.27784227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93937148495462))-π/2
    2×atan(0.390873428001439)-π/2
    2×0.372613967840014-π/2
    0.745227935680029-1.57079632675     		φ = -0.82556839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27784227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.919189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82556839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.301584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29870 KachelY 42566 -0.27784227 -0.82556839 -15.919189 -47.301584
    Oben rechts KachelX + 1 29871 KachelY 42566 -0.27774640 -0.82556839 -15.913696 -47.301584
    Unten links KachelX 29870 KachelY + 1 42567 -0.27784227 -0.82563340 -15.919189 -47.305309
    Unten rechts KachelX + 1 29871 KachelY + 1 42567 -0.27774640 -0.82563340 -15.913696 -47.305309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82556839--0.82563340) × R
    6.5009999999921e-05 × 6371000     		dl = 414.178709999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82556839--0.82563340) × R
    6.5009999999921e-05 × 6371000     		dr = 414.178709999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27784227--0.27774640) × cos(-0.82556839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678139346422626 × 6371000     		do = 414.199219150724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27784227--0.27774640) × cos(-0.82563340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678091566972659 × 6371000     		du = 414.170036047027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82556839)-sin(-0.82563340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678139346422626-0.678091566972659)×R²
    abs(-0.27774640--0.27784227)×4.77794499667006e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77794499667006e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77794499667006e-05×40589641000000     		ar = 171546.454820758m²