Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29870 / 42546
↖ ↑ ↗
← S 47.227029°
W 15.919189°		 ← 414.78 m → S 47.227029°
W 15.913696°		 →
↑
414.75 m
↓
↑
414.75 m
↓
S 47.230759°
W 15.919189°		 ← 414.75 m →
172 026 m²		 S 47.230759°
W 15.913696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455787658691406 y=0.649208068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455787658691406 × 216)
    floor (0.455787658691406 × 65536)
    floor (29870.5)     		tx = 29870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649208068847656 × 216)
    floor (0.649208068847656 × 65536)
    floor (42546.5)     		ty = 42546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29870 / 42546 ti = "16/29870/42546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29870/42546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29870 ÷ 216
    29870 ÷ 65536     		x = 0.455780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42546 ÷ 216
    42546 ÷ 65536     		y = 0.649200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.08843994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27784227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.29840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937454008969818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27784227} λ = -0.27784227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937454008969818))-π/2
    2×atan(0.391623637437158)-π/2
    2×0.37326458393335-π/2
    0.7465291678667-1.57079632675     		φ = -0.82426716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27784227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.919189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82426716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.227029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29870 KachelY 42546 -0.27784227 -0.82426716 -15.919189 -47.227029
    Oben rechts KachelX + 1 29871 KachelY 42546 -0.27774640 -0.82426716 -15.913696 -47.227029
    Unten links KachelX 29870 KachelY + 1 42547 -0.27784227 -0.82433226 -15.919189 -47.230759
    Unten rechts KachelX + 1 29871 KachelY + 1 42547 -0.27774640 -0.82433226 -15.913696 -47.230759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82426716--0.82433226) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dl = 414.752100000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82426716--0.82433226) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dr = 414.752100000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27784227--0.27774640) × cos(-0.82426716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679095089361382 × 6371000     		do = 414.78297524898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27784227--0.27774640) × cos(-0.82433226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679047301247141 × 6371000     		du = 414.75378685325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82426716)-sin(-0.82433226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679095089361382-0.679047301247141)×R²
    abs(-0.27774640--0.27784227)×4.77881142415537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77881142415537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77881142415537e-05×40589641000000     		ar = 172026.057115307m²