Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29870 / 29590
↖ ↑ ↗
← S 80.911088°
E148.161621°		 ← 192.98 m → S 80.911088°
E148.172607°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
S 80.912823°
E148.161621°		 ← 192.94 m →
37 225 m²		 S 80.912823°
E148.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911575317382812 y=0.903030395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911575317382812 × 215)
    floor (0.911575317382812 × 32768)
    floor (29870.5)     		tx = 29870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903030395507812 × 215)
    floor (0.903030395507812 × 32768)
    floor (29590.5)     		ty = 29590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29870 / 29590 ti = "15/29870/29590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29870/29590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29870 ÷ 215
    29870 ÷ 32768     		x = 0.91156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29590 ÷ 215
    29590 ÷ 32768     		y = 0.90301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91156005859375 × 2 - 1) × π
    0.8231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58590811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.8060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53221878552985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58590811} λ = 2.58590811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53221878552985))-π/2
    2×atan(0.0794824699404717)-π/2
    2×0.0793157256709932-π/2
    0.158631451341986-1.57079632675     		φ = -1.41216488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58590811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41216488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.911088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29870 KachelY 29590 2.58590811 -1.41216488 148.161621 -80.911088
    Oben rechts KachelX + 1 29871 KachelY 29590 2.58609986 -1.41216488 148.172607 -80.911088
    Unten links KachelX 29870 KachelY + 1 29591 2.58590811 -1.41219516 148.161621 -80.912823
    Unten rechts KachelX + 1 29871 KachelY + 1 29591 2.58609986 -1.41219516 148.172607 -80.912823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41216488--1.41219516) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41216488--1.41219516) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58590811-2.58609986) × cos(-1.41216488) × R
    0.000191749999999935 × 0.157966984776634 × 6371000     		do = 192.978668807224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58590811-2.58609986) × cos(-1.41219516) × R
    0.000191749999999935 × 0.157937084887963 × 6371000     		du = 192.942141929652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41216488)-sin(-1.41219516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157966984776634-0.157937084887963)×R²
    abs(2.58609986-2.58590811)×2.98998886714141e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98998886714141e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98998886714141e-05×40589641000000     		ar = 37224.7404886695m²