Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29870 / 29584
↖ ↑ ↗
← S 80.900668°
E148.161621°		 ← 193.20 m → S 80.900668°
E148.172607°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
S 80.902406°
E148.161621°		 ← 193.16 m →
37 316 m²		 S 80.902406°
E148.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911575317382812 y=0.902847290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911575317382812 × 215)
    floor (0.911575317382812 × 32768)
    floor (29870.5)     		tx = 29870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902847290039062 × 215)
    floor (0.902847290039062 × 32768)
    floor (29584.5)     		ty = 29584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29870 / 29584 ti = "15/29870/29584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29870/29584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29870 ÷ 215
    29870 ÷ 32768     		x = 0.91156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29584 ÷ 215
    29584 ÷ 32768     		y = 0.90283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91156005859375 × 2 - 1) × π
    0.8231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58590811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90283203125 × 2 - 1) × π
    -0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58590811} λ = 2.58590811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53106829993897))-π/2
    2×atan(0.0795739659992223)-π/2
    2×0.0794066466781825-π/2
    0.158813293356365-1.57079632675     		φ = -1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58590811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29870 KachelY 29584 2.58590811 -1.41198303 148.161621 -80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 29871 KachelY 29584 2.58609986 -1.41198303 148.172607 -80.900668
    Unten links KachelX 29870 KachelY + 1 29585 2.58590811 -1.41201335 148.161621 -80.902406
    Unten rechts KachelX + 1 29871 KachelY + 1 29585 2.58609986 -1.41201335 148.172607 -80.902406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41198303--1.41201335) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41198303--1.41201335) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58590811-2.58609986) × cos(-1.41198303) × R
    0.000191749999999935 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 193.198031420958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58590811-2.58609986) × cos(-1.41201335) × R
    0.000191749999999935 × 0.158116610411554 × 6371000     		du = 193.161457355648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41198303)-sin(-1.41201335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.158116610411554)×R²
    abs(2.58609986-2.58590811)×2.99385152447706e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99385152447706e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99385152447706e-05×40589641000000     		ar = 37316.2839557385m²