Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29870 / 17870
↖ ↑ ↗
← N 63.040021°
W 15.919189°		 ← 276.91 m → N 63.040021°
W 15.913696°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 63.037530°
W 15.919189°		 ← 276.94 m →
76 693 m²		 N 63.037530°
W 15.913696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455787658691406 y=0.272682189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455787658691406 × 216)
    floor (0.455787658691406 × 65536)
    floor (29870.5)     		tx = 29870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272682189941406 × 216)
    floor (0.272682189941406 × 65536)
    floor (17870.5)     		ty = 17870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29870 / 17870 ti = "16/29870/17870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29870/17870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29870 ÷ 216
    29870 ÷ 65536     		x = 0.455780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17870 ÷ 216
    17870 ÷ 65536     		y = 0.272674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455780029296875 × 2 - 1) × π
    -0.08843994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27784227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272674560546875 × 2 - 1) × π
    0.45465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42832786107919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27784227} λ = -0.27784227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42832786107919))-π/2
    2×atan(4.17171766503423)-π/2
    2×1.33552612330815-π/2
    2.6710522466163-1.57079632675     		φ = 1.10025592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27784227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.919189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10025592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.040021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29870 KachelY 17870 -0.27784227 1.10025592 -15.919189 63.040021
    Oben rechts KachelX + 1 29871 KachelY 17870 -0.27774640 1.10025592 -15.913696 63.040021
    Unten links KachelX 29870 KachelY + 1 17871 -0.27784227 1.10021245 -15.919189 63.037530
    Unten rechts KachelX + 1 29871 KachelY + 1 17871 -0.27774640 1.10021245 -15.913696 63.037530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10025592-1.10021245) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dl = 276.947370000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10025592-1.10021245) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dr = 276.947370000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27784227--0.27774640) × cos(1.10025592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453368028786331 × 6371000     		do = 276.911647291693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27784227--0.27774640) × cos(1.10021245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453406774186826 × 6371000     		du = 276.935312508459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10025592)-sin(1.10021245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453368028786331-0.453406774186826)×R²
    abs(-0.27774640--0.27784227)×3.87454004949772e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87454004949772e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87454004949772e-05×40589641000000     		ar = 76693.2294616977m²