Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2987 / 3442
↖ ↑ ↗
← N 27.605671°
W 48.735352°		 ← 4 330.20 m → N 27.605671°
W 48.691406°		 →
↑
4 331.01 m
↓
↑
4 331.01 m
↓
N 27.566721°
W 48.735352°		 ← 4 331.74 m →
18 757 469 m²		 N 27.566721°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36468505859375 y=0.42022705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36468505859375 × 213)
    floor (0.36468505859375 × 8192)
    floor (2987.5)     		tx = 2987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42022705078125 × 213)
    floor (0.42022705078125 × 8192)
    floor (3442.5)     		ty = 3442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2987 / 3442 ti = "13/2987/3442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2987/3442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2987 ÷ 213
    2987 ÷ 8192     		x = 0.3646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3442 ÷ 213
    3442 ÷ 8192     		y = 0.420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85059235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420166015625 × 2 - 1) × π
    0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85059235} λ = -0.85059235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501611717624268))-π/2
    2×atan(1.65138068636749)-π/2
    2×1.02630308746288-π/2
    2.05260617492576-1.57079632675     		φ = 0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85059235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2987 KachelY 3442 -0.85059235 0.48180985 -48.735352 27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 2988 KachelY 3442 -0.84982536 0.48180985 -48.691406 27.605671
    Unten links KachelX 2987 KachelY + 1 3443 -0.85059235 0.48113005 -48.735352 27.566721
    Unten rechts KachelX + 1 2988 KachelY + 1 3443 -0.84982536 0.48113005 -48.691406 27.566721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48180985-0.48113005) × R
    0.000679800000000008 × 6371000     		dl = 4331.00580000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48180985-0.48113005) × R
    0.000679800000000008 × 6371000     		dr = 4331.00580000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85059235--0.84982536) × cos(0.48180985) × R
    0.000766990000000023 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 4330.20375018858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85059235--0.84982536) × cos(0.48113005) × R
    0.000766990000000023 × 0.886472522981064 × 6371000     		du = 4331.74203531647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48180985)-sin(0.48113005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.886472522981064)×R²
    abs(-0.84982536--0.85059235)×0.000314803487202586×R²
    0.000766990000000023×0.000314803487202586×6371000²
    0.000766990000000023×0.000314803487202586×40589641000000     		ar = 18757469.4405161m²