Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29869 / 42554
↖ ↑ ↗
← S 47.256864°
W 15.924682°		 ← 414.55 m → S 47.256864°
W 15.919189°		 →
↑
414.56 m
↓
↑
414.56 m
↓
S 47.260592°
W 15.924682°		 ← 414.52 m →
171 850 m²		 S 47.260592°
W 15.919189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455772399902344 y=0.649330139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455772399902344 × 216)
    floor (0.455772399902344 × 65536)
    floor (29869.5)     		tx = 29869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649330139160156 × 216)
    floor (0.649330139160156 × 65536)
    floor (42554.5)     		ty = 42554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29869 / 42554 ti = "16/29869/42554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29869/42554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29869 ÷ 216
    29869 ÷ 65536     		x = 0.455764770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42554 ÷ 216
    42554 ÷ 65536     		y = 0.649322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455764770507812 × 2 - 1) × π
    -0.088470458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27793814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.29864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.938220999363739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27793814} λ = -0.27793814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938220999363739))-π/2
    2×atan(0.391323381030821)-π/2
    2×0.373004227538213-π/2
    0.746008455076426-1.57079632675     		φ = -0.82478787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27793814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.924682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82478787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.256864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29869 KachelY 42554 -0.27793814 -0.82478787 -15.924682 -47.256864
    Oben rechts KachelX + 1 29870 KachelY 42554 -0.27784227 -0.82478787 -15.919189 -47.256864
    Unten links KachelX 29869 KachelY + 1 42555 -0.27793814 -0.82485294 -15.924682 -47.260592
    Unten rechts KachelX + 1 29870 KachelY + 1 42555 -0.27784227 -0.82485294 -15.919189 -47.260592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82478787--0.82485294) × R
    6.50700000000004e-05 × 6371000     		dl = 414.560970000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82478787--0.82485294) × R
    6.50700000000004e-05 × 6371000     		dr = 414.560970000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27793814--0.27784227) × cos(-0.82478787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.67871276997648 × 6371000     		do = 414.549459244448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27793814--0.27784227) × cos(-0.82485294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678664980882853 × 6371000     		du = 414.520270250521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82478787)-sin(-0.82485294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67871276997648-0.678664980882853)×R²
    abs(-0.27784227--0.27793814)×4.77890936275704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77890936275704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77890936275704e-05×40589641000000     		ar = 171849.975689266m²