Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29869 / 29597
↖ ↑ ↗
← S 80.923227°
E148.150635°		 ← 192.71 m → S 80.923227°
E148.161621°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 80.924961°
E148.150635°		 ← 192.68 m →
37 137 m²		 S 80.924961°
E148.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911544799804688 y=0.903244018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911544799804688 × 215)
    floor (0.911544799804688 × 32768)
    floor (29869.5)     		tx = 29869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903244018554688 × 215)
    floor (0.903244018554688 × 32768)
    floor (29597.5)     		ty = 29597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29869 / 29597 ti = "15/29869/29597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29869/29597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29869 ÷ 215
    29869 ÷ 32768     		x = 0.911529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29597 ÷ 215
    29597 ÷ 32768     		y = 0.903228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911529541015625 × 2 - 1) × π
    0.82305908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58571637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.80645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53356101871921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58571637} λ = 2.58571637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53356101871921))-π/2
    2×atan(0.0793758574967314)-π/2
    2×0.0792097816274789-π/2
    0.158419563254958-1.57079632675     		φ = -1.41237676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58571637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.150635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41237676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.923227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29869 KachelY 29597 2.58571637 -1.41237676 148.150635 -80.923227
    Oben rechts KachelX + 1 29870 KachelY 29597 2.58590811 -1.41237676 148.161621 -80.923227
    Unten links KachelX 29869 KachelY + 1 29598 2.58571637 -1.41240701 148.150635 -80.924961
    Unten rechts KachelX + 1 29870 KachelY + 1 29598 2.58590811 -1.41240701 148.161621 -80.924961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41237676--1.41240701) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41237676--1.41240701) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58571637-2.58590811) × cos(-1.41237676) × R
    0.000191739999999996 × 0.157757761514131 × 6371000     		do = 192.713022710812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58571637-2.58590811) × cos(-1.41240701) × R
    0.000191739999999996 × 0.157727890237232 × 6371000     		du = 192.676532689604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41237676)-sin(-1.41240701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157757761514131-0.157727890237232)×R²
    abs(2.58590811-2.58571637)×2.98712768987686e-05×R²
    0.000191739999999996×2.98712768987686e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.98712768987686e-05×40589641000000     		ar = 37136.6674725114m²