Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29868 / 42551
↖ ↑ ↗
← S 47.245678°
W 15.930176°		 ← 414.68 m → S 47.245678°
W 15.924682°		 →
↑
414.62 m
↓
↑
414.62 m
↓
S 47.249407°
W 15.930176°		 ← 414.65 m →
171 931 m²		 S 47.249407°
W 15.924682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455757141113281 y=0.649284362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455757141113281 × 216)
    floor (0.455757141113281 × 65536)
    floor (29868.5)     		tx = 29868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649284362792969 × 216)
    floor (0.649284362792969 × 65536)
    floor (42551.5)     		ty = 42551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29868 / 42551 ti = "16/29868/42551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29868/42551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29868 ÷ 216
    29868 ÷ 65536     		x = 0.45574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42551 ÷ 216
    42551 ÷ 65536     		y = 0.649276733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45574951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27803402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649276733398438 × 2 - 1) × π
    -0.298553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.937933377966019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27803402} λ = -0.27803402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937933377966019))-π/2
    2×atan(0.391435950196508)-π/2
    2×0.3731018440046-π/2
    0.7462036880092-1.57079632675     		φ = -0.82459264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27803402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.930176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82459264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.245678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29868 KachelY 42551 -0.27803402 -0.82459264 -15.930176 -47.245678
    Oben rechts KachelX + 1 29869 KachelY 42551 -0.27793814 -0.82459264 -15.924682 -47.245678
    Unten links KachelX 29868 KachelY + 1 42552 -0.27803402 -0.82465772 -15.930176 -47.249407
    Unten rechts KachelX + 1 29869 KachelY + 1 42552 -0.27793814 -0.82465772 -15.924682 -47.249407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82459264--0.82465772) × R
    6.50800000000507e-05 × 6371000     		dl = 414.624680000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82459264--0.82465772) × R
    6.50800000000507e-05 × 6371000     		dr = 414.624680000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27803402--0.27793814) × cos(-0.82459264) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678856134699533 × 6371000     		do = 414.680274588257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27803402--0.27793814) × cos(-0.82465772) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678808346885465 × 6371000     		du = 414.651083331308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82459264)-sin(-0.82465772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678856134699533-0.678808346885465)×R²
    abs(-0.27793814--0.27803402)×4.77878140687782e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77878140687782e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77878140687782e-05×40589641000000     		ar = 171930.624506305m²