Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29868 / 29596
↖ ↑ ↗
← S 80.921494°
E148.139649°		 ← 192.76 m → S 80.921494°
E148.150635°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 80.923227°
E148.139649°		 ← 192.72 m →
37 146 m²		 S 80.923227°
E148.150635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911514282226562 y=0.903213500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911514282226562 × 215)
    floor (0.911514282226562 × 32768)
    floor (29868.5)     		tx = 29868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903213500976562 × 215)
    floor (0.903213500976562 × 32768)
    floor (29596.5)     		ty = 29596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29868 / 29596 ti = "15/29868/29596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29868/29596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29868 ÷ 215
    29868 ÷ 32768     		x = 0.9114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29596 ÷ 215
    29596 ÷ 32768     		y = 0.9031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9114990234375 × 2 - 1) × π
    0.822998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58552462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53336927112073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58552462} λ = 2.58552462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53336927112073))-π/2
    2×atan(0.0793910790860886)-π/2
    2×0.0792249078951052-π/2
    0.15844981579021-1.57079632675     		φ = -1.41234651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58552462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41234651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.921494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29868 KachelY 29596 2.58552462 -1.41234651 148.139649 -80.921494
    Oben rechts KachelX + 1 29869 KachelY 29596 2.58571637 -1.41234651 148.150635 -80.921494
    Unten links KachelX 29868 KachelY + 1 29597 2.58552462 -1.41237676 148.139649 -80.923227
    Unten rechts KachelX + 1 29869 KachelY + 1 29597 2.58571637 -1.41237676 148.150635 -80.923227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41234651--1.41237676) × R
    3.02499999997874e-05 × 6371000     		dl = 192.722749998645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41234651--1.41237676) × R
    3.02499999997874e-05 × 6371000     		dr = 192.722749998645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58552462-2.58571637) × cos(-1.41234651) × R
    0.000191749999999935 × 0.157787632646672 × 6371000     		do = 192.75956520569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58552462-2.58571637) × cos(-1.41237676) × R
    0.000191749999999935 × 0.157757761514131 × 6371000     		du = 192.723073457737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41234651)-sin(-1.41237676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157787632646672-0.157757761514131)×R²
    abs(2.58571637-2.58552462)×2.98711325402989e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98711325402989e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98711325402989e-05×40589641000000     		ar = 37145.6371022041m²