Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29867 / 42561
↖ ↑ ↗
← S 47.282955°
W 15.935669°		 ← 414.35 m → S 47.282955°
W 15.930176°		 →
↑
414.37 m
↓
↑
414.37 m
↓
S 47.286682°
W 15.935669°		 ← 414.32 m →
171 686 m²		 S 47.286682°
W 15.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455741882324219 y=0.649436950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455741882324219 × 216)
    floor (0.455741882324219 × 65536)
    floor (29867.5)     		tx = 29867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649436950683594 × 216)
    floor (0.649436950683594 × 65536)
    floor (42561.5)     		ty = 42561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29867 / 42561 ti = "16/29867/42561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29867/42561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29867 ÷ 216
    29867 ÷ 65536     		x = 0.455734252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42561 ÷ 216
    42561 ÷ 65536     		y = 0.649429321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455734252929688 × 2 - 1) × π
    -0.088531494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27812989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.298858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93889211595842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27812989} λ = -0.27812989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93889211595842))-π/2
    2×atan(0.391060845521747)-π/2
    2×0.372776535960883-π/2
    0.745553071921767-1.57079632675     		φ = -0.82524325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27812989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.935669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82524325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.282955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29867 KachelY 42561 -0.27812989 -0.82524325 -15.935669 -47.282955
    Oben rechts KachelX + 1 29868 KachelY 42561 -0.27803402 -0.82524325 -15.930176 -47.282955
    Unten links KachelX 29867 KachelY + 1 42562 -0.27812989 -0.82530829 -15.935669 -47.286682
    Unten rechts KachelX + 1 29868 KachelY + 1 42562 -0.27803402 -0.82530829 -15.930176 -47.286682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82524325--0.82530829) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dl = 414.369840000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82524325--0.82530829) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dr = 414.369840000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27812989--0.27803402) × cos(-0.82524325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678378266802272 × 6371000     		do = 414.345148796616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27812989--0.27803402) × cos(-0.82530829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678330479645687 × 6371000     		du = 414.315960985811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82524325)-sin(-0.82530829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678378266802272-0.678330479645687)×R²
    abs(-0.27803402--0.27812989)×4.7787156584822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7787156584822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7787156584822e-05×40589641000000     		ar = 171686.085797796m²