Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29867 / 28255
↖ ↑ ↗
← N 24.051480°
W 15.935669°		 ← 557.76 m → N 24.051480°
W 15.930176°		 →
↑
557.78 m
↓
↑
557.78 m
↓
N 24.046464°
W 15.935669°		 ← 557.78 m →
311 113 m²		 N 24.046464°
W 15.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455741882324219 y=0.431144714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455741882324219 × 216)
    floor (0.455741882324219 × 65536)
    floor (29867.5)     		tx = 29867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431144714355469 × 216)
    floor (0.431144714355469 × 65536)
    floor (28255.5)     		ty = 28255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29867 / 28255 ti = "16/29867/28255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29867/28255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29867 ÷ 216
    29867 ÷ 65536     		x = 0.455734252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28255 ÷ 216
    28255 ÷ 65536     		y = 0.431137084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455734252929688 × 2 - 1) × π
    -0.088531494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27812989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431137084960938 × 2 - 1) × π
    0.137725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.432678455970627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27812989} λ = -0.27812989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432678455970627))-π/2
    2×atan(1.54138051930702)-π/2
    2×0.995286924375745-π/2
    1.99057384875149-1.57079632675     		φ = 0.41977752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27812989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.935669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41977752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.051480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29867 KachelY 28255 -0.27812989 0.41977752 -15.935669 24.051480
    Oben rechts KachelX + 1 29868 KachelY 28255 -0.27803402 0.41977752 -15.930176 24.051480
    Unten links KachelX 29867 KachelY + 1 28256 -0.27812989 0.41968997 -15.935669 24.046464
    Unten rechts KachelX + 1 29868 KachelY + 1 28256 -0.27803402 0.41968997 -15.930176 24.046464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41977752-0.41968997) × R
    8.75499999999918e-05 × 6371000     		dl = 557.781049999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41977752-0.41968997) × R
    8.75499999999918e-05 × 6371000     		dr = 557.781049999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27812989--0.27803402) × cos(0.41977752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913179636259415 × 6371000     		do = 557.758953640287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27812989--0.27803402) × cos(0.41968997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91321531440113 × 6371000     		du = 557.780745412903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41977752)-sin(0.41968997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913179636259415-0.91321531440113)×R²
    abs(-0.27803402--0.27812989)×3.567814171479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.567814171479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.567814171479e-05×40589641000000     		ar = 311113.452525908m²