Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29866 / 29578
↖ ↑ ↗
← S 80.890238°
E148.117676°		 ← 193.42 m → S 80.890238°
E148.128662°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 80.891977°
E148.117676°		 ← 193.38 m →
37 408 m²		 S 80.891977°
E148.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911453247070312 y=0.902664184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911453247070312 × 215)
    floor (0.911453247070312 × 32768)
    floor (29866.5)     		tx = 29866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902664184570312 × 215)
    floor (0.902664184570312 × 32768)
    floor (29578.5)     		ty = 29578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29866 / 29578 ti = "15/29866/29578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29866/29578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29866 ÷ 215
    29866 ÷ 32768     		x = 0.91143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29578 ÷ 215
    29578 ÷ 32768     		y = 0.90264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91143798828125 × 2 - 1) × π
    0.8228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58514112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.8052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52991781434808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58514112} λ = 2.58514112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52991781434808))-π/2
    2×atan(0.0796655673834463)-π/2
    2×0.0794976710310049-π/2
    0.15899534206201-1.57079632675     		φ = -1.41180098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58514112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41180098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.890238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29866 KachelY 29578 2.58514112 -1.41180098 148.117676 -80.890238
    Oben rechts KachelX + 1 29867 KachelY 29578 2.58533287 -1.41180098 148.128662 -80.890238
    Unten links KachelX 29866 KachelY + 1 29579 2.58514112 -1.41183134 148.117676 -80.891977
    Unten rechts KachelX + 1 29867 KachelY + 1 29579 2.58533287 -1.41183134 148.128662 -80.891977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41180098--1.41183134) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41180098--1.41183134) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58514112-2.58533287) × cos(-1.41180098) × R
    0.000191749999999935 × 0.158326305324521 × 6371000     		do = 193.417628891853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58514112-2.58533287) × cos(-1.41183134) × R
    0.000191749999999935 × 0.158296328186954 × 6371000     		du = 193.381007643999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41180098)-sin(-1.41183134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158326305324521-0.158296328186954)×R²
    abs(2.58533287-2.58514112)×2.99771375668334e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99771375668334e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99771375668334e-05×40589641000000     		ar = 37407.9846437825m²