Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29865 / 29591
↖ ↑ ↗
← S 80.912823°
E148.106690°		 ← 192.93 m → S 80.912823°
E148.117676°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
S 80.914557°
E148.106690°		 ← 192.90 m →
37 216 m²		 S 80.914557°
E148.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911422729492188 y=0.903060913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911422729492188 × 215)
    floor (0.911422729492188 × 32768)
    floor (29865.5)     		tx = 29865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903060913085938 × 215)
    floor (0.903060913085938 × 32768)
    floor (29591.5)     		ty = 29591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29865 / 29591 ti = "15/29865/29591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29865/29591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29865 ÷ 215
    29865 ÷ 32768     		x = 0.911407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29591 ÷ 215
    29591 ÷ 32768     		y = 0.903045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911407470703125 × 2 - 1) × π
    0.82281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58494938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.80609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53241053312833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58494938} λ = 2.58494938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53241053312833))-π/2
    2×atan(0.0794672308288176)-π/2
    2×0.0793005822092575-π/2
    0.158601164418515-1.57079632675     		φ = -1.41219516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58494938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.106690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41219516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.912823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29865 KachelY 29591 2.58494938 -1.41219516 148.106690 -80.912823
    Oben rechts KachelX + 1 29866 KachelY 29591 2.58514112 -1.41219516 148.117676 -80.912823
    Unten links KachelX 29865 KachelY + 1 29592 2.58494938 -1.41222544 148.106690 -80.914557
    Unten rechts KachelX + 1 29866 KachelY + 1 29592 2.58514112 -1.41222544 148.117676 -80.914557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41219516--1.41222544) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41219516--1.41222544) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58494938-2.58514112) × cos(-1.41219516) × R
    0.000191739999999996 × 0.157937084887963 × 6371000     		do = 192.932079758035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58494938-2.58514112) × cos(-1.41222544) × R
    0.000191739999999996 × 0.157907184854482 × 6371000     		du = 192.89555460849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41219516)-sin(-1.41222544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157937084887963-0.157907184854482)×R²
    abs(2.58514112-2.58494938)×2.99000334804955e-05×R²
    0.000191739999999996×2.99000334804955e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.99000334804955e-05×40589641000000     		ar = 37215.75298144m²