Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29864 / 29592
↖ ↑ ↗
← S 80.914557°
E148.095703°		 ← 192.91 m → S 80.914557°
E148.106690°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
S 80.916292°
E148.095703°		 ← 192.87 m →
37 211 m²		 S 80.916292°
E148.106690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911392211914062 y=0.903091430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911392211914062 × 215)
    floor (0.911392211914062 × 32768)
    floor (29864.5)     		tx = 29864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903091430664062 × 215)
    floor (0.903091430664062 × 32768)
    floor (29592.5)     		ty = 29592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29864 / 29592 ti = "15/29864/29592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29864/29592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29864 ÷ 215
    29864 ÷ 32768     		x = 0.911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29592 ÷ 215
    29592 ÷ 32768     		y = 0.903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911376953125 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58475763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903076171875 × 2 - 1) × π
    -0.80615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53260228072681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58475763} λ = 2.58475763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53260228072681))-π/2
    2×atan(0.0794519946389464)-π/2
    2×0.0792854416145286-π/2
    0.158570883229057-1.57079632675     		φ = -1.41222544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58475763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41222544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.914557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29864 KachelY 29592 2.58475763 -1.41222544 148.095703 -80.914557
    Oben rechts KachelX + 1 29865 KachelY 29592 2.58494938 -1.41222544 148.106690 -80.914557
    Unten links KachelX 29864 KachelY + 1 29593 2.58475763 -1.41225572 148.095703 -80.916292
    Unten rechts KachelX + 1 29865 KachelY + 1 29593 2.58494938 -1.41225572 148.106690 -80.916292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41222544--1.41225572) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41222544--1.41225572) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58475763-2.58494938) × cos(-1.41222544) × R
    0.000191749999999935 × 0.157907184854482 × 6371000     		do = 192.905614875176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58475763-2.58494938) × cos(-1.41225572) × R
    0.000191749999999935 × 0.15787728467622 × 6371000     		du = 192.869087643829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41222544)-sin(-1.41225572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157907184854482-0.15787728467622)×R²
    abs(2.58494938-2.58475763)×2.99001782621822e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99001782621822e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99001782621822e-05×40589641000000     		ar = 37210.6473372951m²