Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29864 / 13697
↖ ↑ ↗
← N 71.744711°
W 15.952148°		 ← 191.33 m → N 71.744711°
W 15.946655°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 71.742990°
W 15.952148°		 ← 191.35 m →
36 619 m²		 N 71.742990°
W 15.946655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455696105957031 y=0.209007263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455696105957031 × 216)
    floor (0.455696105957031 × 65536)
    floor (29864.5)     		tx = 29864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209007263183594 × 216)
    floor (0.209007263183594 × 65536)
    floor (13697.5)     		ty = 13697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29864 / 13697 ti = "16/29864/13697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29864/13697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29864 ÷ 216
    29864 ÷ 65536     		x = 0.4556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13697 ÷ 216
    13697 ÷ 65536     		y = 0.208999633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27841751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208999633789062 × 2 - 1) × π
    0.582000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82840922530818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27841751} λ = -0.27841751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82840922530818))-π/2
    2×atan(6.22397783284081)-π/2
    2×1.41148887779579-π/2
    2.82297775559159-1.57079632675     		φ = 1.25218143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27841751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.952148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25218143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.744711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29864 KachelY 13697 -0.27841751 1.25218143 -15.952148 71.744711
    Oben rechts KachelX + 1 29865 KachelY 13697 -0.27832164 1.25218143 -15.946655 71.744711
    Unten links KachelX 29864 KachelY + 1 13698 -0.27841751 1.25215139 -15.952148 71.742990
    Unten rechts KachelX + 1 29865 KachelY + 1 13698 -0.27832164 1.25215139 -15.946655 71.742990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25218143-1.25215139) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dl = 191.384839999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25218143-1.25215139) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dr = 191.384839999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27841751--0.27832164) × cos(1.25218143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313251470266903 × 6371000     		do = 191.330166973539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27841751--0.27832164) × cos(1.25215139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313279998218804 × 6371000     		du = 191.347591497663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25218143)-sin(1.25215139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313251470266903-0.313279998218804)×R²
    abs(-0.27832164--0.27841751)×2.85279519010029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85279519010029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85279519010029e-05×40589641000000     		ar = 36619.3607909789m²